Pedro: Página creada con «==Enunciado== Un circuito integrado está constituido por una pista de cobre ( $\sigma\simeq 6.0\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m})$ de espesor e=0.1 mm montada sobre un dieléctrico. La pista tiene en todos sus tramos un ancho d = 1.0 mm. La pista tiene forma de H, en la que cada tramo mide b = 6.0 cm, salvo el travesaño central, que mide 3cm. Supongamos en primer lugar, que tres de las patas están a tierra (el interruptor A está cerrado) y la cuar…»

2024-04-24T14:05:13Z

Página creada con «==Enunciado== Un circuito integrado está constituido por una pista de cobre (<math>\sigma\simeq 6.0\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m})</math> de espesor e=0.1 mm montada sobre un dieléctrico. La pista tiene en todos sus tramos un ancho d = 1.0 mm. La pista tiene forma de H, en la que cada tramo mide b = 6.0 cm, salvo el travesaño central, que mide 3cm. Supongamos en primer lugar, que tres de las patas están a tierra (el interruptor A está cerrado) y la cuar…»

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==Enunciado==
Un circuito integrado está constituido por una pista de cobre (<math>\sigma\simeq 6.0\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m})</math> de espesor e=0.1 mm montada sobre un dieléctrico. La pista tiene en todos sus tramos un ancho d = 1.0 mm. La pista tiene forma de H, en la que cada tramo mide b = 6.0 cm, salvo el travesaño central, que mide 3cm.
Supongamos en primer lugar, que tres de las patas están a tierra (el interruptor A está cerrado) y la cuarta conectada a un voltaje <math>V_0= 2.4\,\mathrm{mV}</math>.
# Halle la intensidad de corriente que entra o sale por cada pata.
# Halle el voltaje al que se encuentran los dos nodos intermedios, donde se unen los diferentes tramos.
# Calcule la potencia que se está disipando en el sistema por efecto Joule.
Supongamos ahora que, en la situación anterior, se abre el interruptor A, dejando la pata 2 en circuito abierto. Responda a las mismas preguntas:
<ol start="4">
<li>Halle la intensidad de corriente que entra o sale por cada pata.</li>
<li>
Halle el voltaje al que se encuentran los dos nodos intermedios.
</li><li>Calcule la potencia que se está disipando en el sistema por efecto Joule.</li></ol>
Puede suponerse cada tramo como un conductor filiforme.
<center>[[Archivo:pista-forma-H.png|519px]]</center>

==Con el interruptor cerrado==
===Intensidades de corriente===
Construimos un circuito equivalente, sustituyendo cada tramo por una resistencia. Etiquetamos cada una por el nodo que tiene más próximo y <math>R_5</math> es la del brazo central. Los nodos B y C son las esquinas donde se unen los tramos.

Para los tramos de 6cm la resistencia vale

<center><math>R_1=R_2=R_3=R_4=R_0=\frac{\ell}{\sigma A}=\frac{6.0\times 10^{-2}}{6.0\times 10^7(10^{-3}\times 10^{-4})}=10\,\mathrm{m\Omega}</math></center>

mientras que la del tramo central es la mitad, por serlo su longitud

<center><math>R_5=\frac{R_0}{2}=5\,\mathrm{m\Omega}</math></center>

En principio, estas resistencias están dispuestas según la misma H.

<center>[[Archivo:pista-forma-H-01.png|504px]]</center>

Sin embargo, dado que tres de sus patas están a tierra y solo una a un cierto voltaje, puede simplificarse mediante asociaciones.

<center>[[Archivo:pista-forma-H-02.png|637px]]</center>

Podemos ver que tenemos una resistencia <math>R_1</math> que sale de “1” y en el punto B se bifurca en 2 ramas en paralelo, una de las cuales vuelve a bifurcarse en el punto C. La resistencia equivalente a la que va de C a 2 y la que va de B a 4 vale

<center><math>R_{24}=\frac{R_2R_4}{R_2+R_4}=\frac{R_0}{2}=5\,\mathrm{m}\Omega</math></center>

<center>[[Archivo:pista-forma-H-03.png|639px]]</center>

Esta asociación está en serie con la resistencia del tramo central

<center><math>R_{524}=R_5+R_{24}=\frac{R_0}{2}+\frac{R_0}{2}=R_0=10\,\mathrm{m}\Omega</math></center>

<center>[[Archivo:pista-forma-H-04.png|477px]]</center>

y esta en paralelo con la que va a 3.

<center><math>R_{3524}=\frac{R_3R_{524}}{R_3+R_{524}}=\frac{R_0}{2}=5\,\mathrm{m}\Omega</math></center>

<center>[[Archivo:pista-forma-H-05.png|475px]]</center>

Por tanto la resistencia equivalente a todo el conjunto, visto desde “1” es

<center><math>R_\mathrm{eq}=R_{1}+R_{3524}=R_0+\frac{R_0}{2}=\frac{3R_0}{2}=15\,\mathrm{m}\Omega</math></center>

<center>[[Archivo:pista-forma-H-06.png|327px]]</center>

Con esto tenemos la corriente que entra por 1.

<center><math>I_1=\frac{V_0}{R_\mathrm{eq}}=\frac{2.4\,\mathrm{mV}}{15\,\mathrm{m}\Omega}=0.16\,\mathrm{A}</math></center>

Esta corriente se separa en dos ramas de la misma resistencia <math>R_0</math>, con lo que por cada una se van 0.08 A. Por tanto, la corriente que entra por “3”, que en realidad sale, vale

<center><math>I_3=-0.08\,\mathrm{A}</math></center>

La que va por la otra rama se bifurca de nuevo en dos ramas iguales, por lo que por cada una se van 0.04 A. Por tanto

<center><math>I_2=I_4=-0.04\,\mathrm{A}</math></center>

===Voltajes===
El voltaje del nodo B lo sacamos de que por 1 entra una corriente de 0.16 A, por lo que

<center><math>I_1=\frac{V_1-V_B}{R_0}\qquad\Rightarrow\qquad 0.16\,\mathrm{A}=\frac{2.4\,\mathrm{mV}-V_B}{10\,\mathrm{m}\Omega} \qquad\Rightarrow\qquad V_B=0.8\,\mathrm{mV}</math></center>

y la de C de manera similar, sabiendo que por la rama BC van 0.08 A

<center><math>0.08\,\mathrm{A}=\frac{0.8\,\mathrm{mV}-V_C}{5\,\mathrm{m}\Omega}\qquad\Rightarrow\qquad V_C=0.4\,\mathrm{mV}</math></center>

A estos mismso resultados se puede llegar de diferentes formas.
===Potencia===
La potencia consumida en un sistema con varios terminales es

<center><math>P=\sum_i I_i V_i = I_1 V_1 = 0.16\,\mathrm{A}\times 2.4\,\mathrm{mV}= 0.384\,\mathrm{mJ}</math></center>
==Con el interruptor abierto==
===Intensidades de corriente===
Cuando se abre el interruptor, la rama 2 queda desconectada y por ella ni entra ni sale corriente. Por tanto, desde el punto de vista del circuito, es como si no estuviera.

<center>[[Archivo:pista-forma-H-07.png|637px]]</center>

Esto hace que cambie la resistencia equivalente del circuito, que vale ahora

<center>[[Archivo:pista-forma-H-08.png|637px]]</center>
 
<center><math>R_{54}=\frac{R_0}{2}+R_0=\frac{3R_0}{2}=15\,\mathrm{m}\Omega</math></center>
 
<center>[[Archivo:pista-forma-H-09.png|475px]]</center>
 
<center><math>R_{354}=\frac{R_3R_{54}}{R_3+R_{54}}=\frac{3R_0}{5}=6\,\mathrm{m}\Omega</math></center>
 
<center>[[Archivo:pista-forma-H-10.png|475px]]</center>
 
<center><math>R_\mathrm{eq}=R_1+R_{354}=\frac{8R_0}{5}= 16\,\mathrm{m}\Omega</math></center>
 
<center>[[Archivo:pista-forma-H-11.png|327px]]</center>
y por tanto la corriente que entra por 1 es ahora

<center><math>I_1=\frac{V_0}{R_\mathrm{eq}}=\frac{2.4\,\mathrm{mV}}{16\,\mathrm{m}\Omega}=0.15\,\mathrm{A}</math></center>

Esta corriente se bifurca en dos ramas, pero ahora las resistencias son diferentes, por lo que las intensidades no son iguales. Para obtenerlas podemos emplear las leyes de Kirchhoff

<center><math>-0.15=I_3+I_4\qquad\qquad 10I_3=15I_4 \qquad\Rightarrow\qquad I_3=-0.09\,\mathrm{A}\qquad\qquad I_4=-0.06\,\mathrm{A}</math></center>

(el signo negativo viene de que la corrientes salen por 3 y 4, no entran).

Resumiendo

<center><math>I_1=0.15\,\mathrm{A}\qquad\qquad I_2=0\qquad \qquad I_3=-0.09\,\mathrm{A}\qquad\qquad I_4=-0.06\,\mathrm{A}</math></center>

===Voltajes===
Operamos igual que antes y resulta

<center><math>V_B=0.9\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_C=0.6\,\mathrm{mV}</math></center>
===Potencia===
La potencia consumida es ahora

<center><math>P=\sum_i I_i V_i = I_1 V_1 = 0.15\,\mathrm{A}\times 2.4\,\mathrm{mV}= 0.36\,\mathrm{mJ}</math></center>

Circuito en forma de H (GIOI) - Historial de revisiones