Pedro: Página creada con «==Enunciado== Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud b situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra (“sólido 2”) tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él formando un ángulo φ(t) respecto a un sistema de ejes fijos ${OX}_1Y_1$ . La segunda barra (“sólido 3”) está articulada en el extremo A de la primera de manera que forma un ángulo θ(t) con la prolonga…»

2024-09-04T14:16:14Z

Página creada con «==Enunciado== Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud b situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra (“sólido 2”) tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él formando un ángulo φ(t) respecto a un sistema de ejes fijos <math>{OX}_1Y_1</math>. La segunda barra (“sólido 3”) está articulada en el extremo A de la primera de manera que forma un ángulo θ(t) con la prolonga…»

Página nueva

==Enunciado==
Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud b situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra (“sólido 2”) tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él formando un ángulo φ(t) respecto a un sistema de ejes fijos <math>{OX}_1Y_1</math>. La segunda barra (“sólido 3”) está articulada en el extremo A de la primera de manera que forma un ángulo θ(t) con la prolongación del sólido 0. En función de θ, φ y sus derivadas y con ayuda de un sistema <math>{OX}_2Y_2</math> ligado a la primera barra…
# Calcule la velocidad del punto de articulación A y del extremo libre B de la segunda barra respecto al sistema fijo “1”.
# Localice la posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{31}</math> del movimiento de la segunda barra respecto a los ejes fijos.
# Halle la aceleración del extremo B y del centro G del sólido 3 respecto al sistema fijo.
<center>[[Archivo:dos-varillas-articuladas-plano.png|400px]]</center>
==Sistemas de referencia==
Emplearemos tres sistemas de referencia:
* El sistema fijo 1, que consideramos inmóvil.
* El sistema 2, ligado a la primera varilla, con el mismo origen, y tal que el eje <math>{OX}_2</math> está alineado con ella. Cuando <math>\theta=0</math>, este eje es coincidente con el <math>{OX}_1</math>. La relación de la base de este sistema con la del sistema 1 la da una rotación de un ángulo <math>\phi</math>:
<center><math>\vec{\imath}_2=\cos(\phi)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\phi)\vec{\jmath}_1\qquad\qquad \vec{\jmath}_2=-\mathrm{sen}(\phi)\vec{\imath}_1+\cos(\phi)\vec{\jmath}_1</math></center>
:En este sistema, la posición del extremo A respoecto al origen es
<center><math>\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_2</math></center>
:y la velocidad angular de este sólido
<center><math>\omega_{21}=\dot{\phi}</math></center>
:usamos cantidades escalares porque al tratarse de un problema plano todas las velocidades angulares tienen la misma dirección (el sentido lo da el signo).
* Un sistema 3, ligado a la segunda varilla, con el eje <math>{OX}_3</math> a lo largo de ella. Cuando <math>\theta=0</math>, coincide con <math>{OX}_2</math>. La relación de la base de este sistema con la del sistema 2 la da una rotación de un ángulo θ:
<center><math>\vec{\imath}_3=\cos(\theta)\vec{\imath}_2+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_2\qquad\qquad \vec{\jmath}_3=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_2+\cos(\theta)\vec{\jmath}_2</math></center>
:La posición del extremo B respecto a A es
<center><math>\overrightarrow{AB}=b\vec{\imath}_3</math></center>
:La velocidad angular de la varilla 3 respecto a la 2 es
<center><math>\omega_{32}=\dot{\theta}</math></center>
:y respecto al sistema fijo
<center><math>\omega_{31}=\omega_{32}+\omega_{21}=\dot{\theta}+\dot{\phi}</math></center>

==Velocidades==
===De A===
La velocidad de A es simplemente la de una rotación en torno a O

<center><math>\vec{v}^A_{21}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}=\dot{\phi}\vec{k}\times(b\vec{\imath}_2)=b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2</math></center>

===De B===
La velocidad de B la obtenemos mediante el campo de velocidades
<center><math>\vec{v}^B_{31}=\vec{v}^A_{31}+\omega_{31}\vec{k}\times\overrightarrow{AB}=\vec{v}^A_{31}+(\dot{\phi}+\dot{\theta})\vec{k}\times(b\vec{\imath}_3</math></center>

El punto A, por ser una articulación entre “2” y “3”, tiene la misma velocidad en ambos sólidos respecto al “1”

<center><math>\vec{v}^A_{31}=\vec{v}^A_{32}+\vec{v}^A_{21}=\vec{0}+b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2</math></center>

y, por tanto, la velocidad de B es

<center><math>\vec{v}^B_{31}=b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2+b(\dot{\phi}+\dot{\theta})\vec{\jmath}_3</math></center>

Si queremos expresar esta velocidad empleando exclusivamente la base “2” simplemente desarrollamos el último vector

<center><math>\vec{v}^B_{31}=-b(\dot{\phi}+\dot{\theta})\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_2+b(\dot{\phi}+(\dot{\phi}+\dot{\theta})\cos(\theta))\vec{\jmath}_2</math></center>

==Centros instantáneos de rotación==
===Del movimiento {21}===
Este es simplemente el punto O, alrededor del cual gira la barra OA.
===Del movimiento {32}===
Este es A, alrededor del cual gira la barra AB en este movimiento.
===Del movimiento {31}===
Este debe estar alineado con los dos anteriores. Obtenemos su posición a partir de la velocidad de A

<center><math>\overrightarrow{AI}_{31}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^A_{31}}{\omega_{31}}=\frac{-b\dot{\phi}}{\dot{\phi}+\dot{\theta}}\vec{\imath}_2</math></center>

y, respecto al origen de coordenadas

<center><math>\overrightarrow{OI}_{31}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}_{31}=\frac{b\dot{\theta}}{\dot{\phi}+\dot{\theta}}\vec{\imath}_2</math></center>

Este centro se encuentra efectivamente alineado con los otros dos, al hallarse sobre la recta OA. Dependiendo de los signos de las velocidades angulares, puede estar entre O y A, fuera del segmento o incluso en el infinito (caso de una traslación si <math>\dot{\theta}=-\dot{\phi}</math>).
==Aceleraciones==
La aceleración de B la calculamos hallando primero la de A

<center><math>\vec{a}^A_{21}=\alpha_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}-\omega_{21}^2 \overrightarrow{OA}=-b\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+b\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2</math></center>

<center><math>\vec{a}^A_{31}=\overbrace{\vec{a}^A_{32}}^{=\vec{0}}+\vec{a}^A_{21}+2\omega_{21}\vec{k}\times\overbrace{\vec{v}^A_{32}}^{=\vec{0}}=-b\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+b\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2</math></center>

y a continuación la de B

<center><math>\vec{a}^B_{31}=\vec{a}^A_{31}+\alpha_{31}\vec{k}\times\overrightarrow{AB}-\omega_{31}^2\overrightarrow{AB}=-b\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+b\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2-b(\dot{\phi}+\dot{\theta})^2\vec{\imath}_3+b(\ddot{\phi}+\ddot{\theta})\vec{\jmath}_3</math></center>

El escribir este resultado en una sola base complica notablemente la expresión.

La aceleración de G, el punto medio de A y B, es
<center><math>
\vec{a}^G_{31}=\frac{\vec{a}^A_{31}+\vec{a}^B_{31}}{2}=-b\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+b\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2-\frac{b}{2}(\dot{\phi}+\dot{\theta})^2\vec{\imath}_3+\frac{b}{2}(\ddot{\phi}+\ddot{\theta})\vec{\jmath}_3</math></center>

Cinemática de dos barras articuladas (CMR) - Historial de revisiones