Pedro: Página creada con «= Enunciado = center Un cilindro de radio $R$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre un plano fijo $O_1X_1Y_1Z_1$ (sólido "1"). Los ejes $GX_2Y_2Z_2$ son solidarios con el cilindro. Introducimos unos ejes auxiliares $GX_0Y_0Z_0$ que cumplen las siguientes propiedades: el $X_0$ es paralelo al eje del cilindro; el eje $Z_0$ es perpendicula…»

2023-09-25T14:12:36Z

Página creada con «= Enunciado = center Un cilindro de radio <math>R</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre un plano fijo <math>O_1X_1Y_1Z_1</math> (sólido "1"). Los ejes <math>GX_2Y_2Z_2</math> son solidarios con el cilindro. Introducimos unos ejes auxiliares <math>GX_0Y_0Z_0</math> que cumplen las siguientes propiedades: el <math>X_0</math> es paralelo al eje del cilindro; el eje <math>Z_0</math> es perpendicula…»

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= Enunciado =
[[Archivo:MRGIC-cilindroRodaduraSinDeslizamiento-enunciado.png|center]]

Un cilindro de radio <math>R</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre un plano fijo <math>O_1X_1Y_1Z_1</math> (sólido "1"). Los ejes <math>GX_2Y_2Z_2</math> son solidarios con el cilindro. Introducimos unos ejes auxiliares <math>GX_0Y_0Z_0</math> que cumplen las siguientes propiedades: el <math>X_0</math> es paralelo al eje del cilindro; el eje <math>Z_0</math> es perpendicular al plano fijo "1"; el ángulo que forma el eje <math>Y_0</math> con el eje <math>X_1</math> es <math>\phi</math>. El punto <math>A</math> señala el punto geométrico en la vertical de <math>G</math> donde el cilindro está en contacto con el plano. Las coordenadas de este punto en los ejes "1" son <math>x_1</math>, <math>y_1</math>. Estas son también las coordenadas de <math>G</math> en el plano fijo. Los diagramas auxiliares indican los ángulos relevantes entre los diferentes sistemas de ejes.
#Encuentra la reducción cinemática en el punto <math>G</math> de los movimientos {01}, {20}, {21}. Expresa los resultados en la base "0" y usa el menor número de coordenadas posible.
2. Si el tensor de inercia del cilindro en <math>G</math> es de la forma
<center>
<math>
\overleftrightarrow{I_O}
=
\left[
\begin{array}{ccc}
I_{1} & 0 & 0 \\
0 & I_{2} & 0 \\
0 & 0 & I_{2}
\end{array}
\right]_2
</math>
</center>
con <math>I_1</math>, <math>I_2</math> conocidos, calcula el momento cinético del cilindro en <math>G</math> y su energía cinética.

= Solución =

== Reducciones cinemáticas en <math>G</math> ==
De la lectura atenta del enunciado deducimos los siguientes datos cinemáticos:
# <math>\vec{v}^A_{21} = \vec{0}</math>, pues el cilindro rueda sin deslizar sobre el plano "1".
#<math>\vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k}_0</math> , pues el eje <math>Y_0</math> forma un ángulo <math>\phi</math> con el eje <math>X_1</math>.
#<math>\vec{v}^G_{20}=\vec{0}</math>, pues el centro del cilindro (sólido "2") y el origen del sistema de ejes "0" coinciden siempre.
#<math>\vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0</math>, pues el eje <math>Y_2</math> forma un ángulo <math>\theta</math> con el eje <math>Y_0</math>.
Con esto ya podemos encontrar las reducciones cinemáticas pedidas
=== Movimiento {21} ===
Obtenemos <math>\vec{\omega}_{21}</math> de la composición
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} =
\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \dot{\phi}\,\vec{k}_0.
</math>
</center>
Como ya tenemos <math>\vec{v}^{A}_{21}=\vec{0}</math>, aplicamos Chasles entre los puntos <math>A</math> y <math>G</math> para el movimiento {21}
<center>
<math>
\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} =
(\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \dot{\phi}\,\vec{k}_0)\times
(R\,\vec{k}_0) = -R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0.
</math>
</center>
=== Movimiento {20} ===
Este lo tenemos directamente del análisis del enunciado
<center>
<math>
\vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0, \qquad
\vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}.
</math>
</center>

=== Movimiento {01} ===
Tenemos <math>\vec{\omega}_{01}=\dot{\phi}\,\vec{k}_0</math> del análisis del enunciado. Obtenemos la velocidad en <math>G</math> usando las leyes de composición
<center>
<math>
\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01}
\to
\vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,G}_{21} - \vec{v}^{\,G}_{20}
=
-R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0.
</math>
</center>
La velocidad <math>\vec{v}^{\,G}_{01}</math> también se puede obtener derivando respecto al tiempo el vector de posición
<center>
<math>
\vec{r}^{\,G}_{01} = \overrightarrow{O_1G} =
x_1\,\vec{\imath}_1 + y_1\,\vec{\jmath}_1 + R\,\vec{k}_1.
</math>
</center>
Este vector de posición se puede derivar porque apunta siempre al centro del cilindro. Haciendo la derivada tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,G}_{01} =
\left.\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{O_1G}}{\mathrm{d}t} \right|_1
=
\dot{x}_1\,\vec{\imath}_1 + \dot{y}_1\,\vec{\jmath}_1.

</math>
</center>
Esta velocidad esta expresada en función de <math>x_1</math> e <math>y_1</math>- Hay una ligadura entre estas coordenadas y las coordenadas angulares. Para verla expresamos <math>\vec{\jmath}_0</math> en la base "1"
<center>
<math>
\vec{\jmath}_0 = \cos\phi\,\vec{\imath}_1 + \mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Con esto tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,G}_{01}
=
-R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0
=
-R\dot{\theta}\cos\phi\,\vec{\imath}_1
-R\dot{\theta}\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1
</math>
</center>
Comparando las dos expresiones de <math>\vec{v}^{\,G}_{01}</math> obtenemos
<center>
<math>
\dot{x}_1 = -R\dot{\theta}\cos\phi, \qquad
\dot{y}_1 = -R\dot{\theta}\mathrm{sen}\phi.
</math>
</center>

== Momento angular y energía cinética ==

El momento angular respecto al CM es
<center>
<math>
\vec{L}_G = \overleftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}_{21}.
\begin{array}{c}\end{array}
</math>
</center>
Como el tensor está expresado en la base "2", hay que expresar el vector rotación en esa base. Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{\imath}_0 = \vec{\imath}_2,\\
\vec{k}_0 = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_2 + \cos\theta\,\vec{k}_2.
\end{array}
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_2 +
\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_2 + \dot{\phi}\cos\theta\,\vec{k}_2.
</math>
</center>
El momento cinético es
<center>
<math>
\vec{L}_G
=
\left[
\begin{array}{ccc}
I_{1} & 0 & 0 \\
0 & I_{2} & 0 \\
0 & 0 & I_{2}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{\theta} \\ \dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\theta \\ \dot{\phi}\cos\theta
\end{array}
\right]_2
=
[I_1\dot{\theta}, I_2 \dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\theta, I_2 \dot{\phi}\cos\theta
]_2.
</math>
</center>
La energía cinética puede calcularse así
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}\vec{L}_G\cdot\vec{\omega}_{21} =
\dfrac{1}{2}\,
\left(
(mR^2+I_1)\dot{\theta}^2 + I_2\dot{\phi}^2
\right).
</math>
</center>

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