Antonio: Página creada con «==Enunciado== En una región del espacio el campo eléctrico es radial desde el origen de coordenadas $\vec{E}=E(r) \vec{u}_r$ , dependiendo de la distancia al centro según la gráfica adjunta. El valor máximo del campo es $E_0$ . # ¿Cuánto valen las densidades de carga que producen este campo? # ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordenadas (tomando como origen de potencial el infinito)? # ¿Cuánta energía almacena este…»

2025-04-15T17:28:36Z

Página creada con «==Enunciado== En una región del espacio el campo eléctrico es radial desde el origen de coordenadas <math>\vec{E}=E(r) \vec{u}_r</math>, dependiendo de la distancia al centro según la gráfica adjunta. El valor máximo del campo es <math>E_0</math>. # ¿Cuánto valen las densidades de carga que producen este campo? # ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordenadas (tomando como origen de potencial el infinito)? # ¿Cuánta energía almacena este…»

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==Enunciado==
En una región del espacio el campo eléctrico es radial desde el origen de coordenadas <math>\vec{E}=E(r) \vec{u}_r</math>, dependiendo de la distancia al centro según la gráfica adjunta. El valor máximo del campo es <math>E_0</math>.
# ¿Cuánto valen las densidades de carga que producen este campo?
# ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordenadas (tomando como origen de potencial el infinito)?
# ¿Cuánta energía almacena este sistema?

[[Archivo:campo-radial-01.png|500px|center]]
==Densidades de carga==
Dado que el campo depende exclusivamente de la distancia al origen, las densidades de carga también van a ser solo función de esta distancia.

===Para ''r'' > ''b''===
Si vamos de fuera a dentro vemos que para <math>r>b</math> el campo es nulo. la aplicación de la ley de Gauss a una superficie esférica de radio <math>r>b</math> nos da que la carga encerrada es nula, para todo <math>r>b</math>. Esto implica que en toda esta región la densidad de carga es nula

<center><math>\rho(r)=0\qquad\qquad (r>b)</math></center>

===En ''r'' = ''b''===
En <math>r=b</math> hay una discontinuidad de salto. Esto quiere decir que a esa distancia hay una densidad de carga superficial, la cual verifica

<center><math>E(b^+)-E(b^-)=\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}</math></center>

Sustituyendo el valor del campo

<center><math>\sigma_s = \varepsilon_0(0-E_0)= -\varepsilon_0E_0\qquad\qquad (r=b)</math></center>

La carga total almacenada en esta superficie es

<center><math>Q_s=4\pi b^2\sigma_s = -4\pi\varepsilon_0 b^2 E_0</math></center>

===En ''r'' < ''b''===
En esta región el campo es variable, lo que indica que existe una densidad de carga. Podemos hallar cuanta carga hay desde el centro hasta una distancia r mediante la ley de Gauss

<center><math>Q(r)=\varepsilon_0 \int_r \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=4\pi\varepsilon_0 r^2 E(r)=\frac{4\pi\varepsilon_0 E_0 r^3}{b}</math></center>

Al ser proporcional a r al cubo, esta carga es proporcional al volumen de la esfera de radio radial

<center><math>Q(r)=\frac{3\varepsilon_0E_0}{b}\left(\frac{4\pi}{3}r^3\right)</math></center>

Esto nos dice que para <math>r < R</math> la densidad volumétrica de carga es uniforme e igual adjunta

<center><math>\rho=\frac{3\varepsilon_0E_0}{b}\qquad\qquad (r<b)</math></center>

Se puede llegar de forma más rigurosa a este resultado empleando el mismo método que en el problema “[[Campo eléctrico central (GIOI)|Campo eléctrico central]]”.

La carga total almacenada en esta región es

<center><math>Q_v=\frac{3\varepsilon_0E_0}{b}\left(\frac{4\pi}{3}b^3\right)=+4\pi\varepsilon_0 b^2 E_0</math></center>

Es igual y de signo contrario a la que hay en la superficie, lo que nos da una carga total nula.

==Potencial en el origen de coordenadas==
Para hallar el potencial eléctrico, lo más sencillo es integrar el campo

<center><math>V_O=-\int_\infty^0 \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-\int_\infty^b 0\,\mathrm{d}r -\int_b^0 E_0\frac{r}{b}\mathrm{d}r=\frac{E_0b}{2}</math></center>

==Energía eléctrica almacenada==
Calculamos la energía a partir de su densidad

<center><math>U_\mathrm{e}=\int \frac{1}{2}\varepsilon_0 |\vec{E}|^2\,\mathrm{d}v</math></center>

En este caso solo hay campo (y densidad de energía) en <math>r < b</math>, donde vale

<center><math>u_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E_0^2 \left(\frac{r}{b}\right)^2</math></center>

Dividimos la esfera en capas concéntricas y nos queda

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{4\pi\varepsilon_0E_0^2}{2b^2}\int_0^b r^4\mathrm{d}r=\frac{2\pi\varepsilon_0E_0^2b^3}{5}</math></center>

Campo eléctrico radial (GIOI) - Historial de revisiones