Antonio en 12:31 11 abr 2024

2024-04-11T12:31:19Z

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	<center><math>Q=\frac{\lambda_0b}{2}\left(\overbrace{\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta'}^{=2\pi}+\overbrace{\int_0^{2\pi}\cos(\theta') \mathrm{d}\theta'}^{=0}\right)= \pi\lambda_0 b</math></center>		<center><math>Q=\frac{\lambda_0b}{2}\left(\overbrace{\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta'}^{=2\pi}+\overbrace{\int_0^{2\pi}\cos(\theta') \mathrm{d}\theta'}^{=0}\right)= \pi\lambda_0 b</math></center>

			==Campo en el centro del anillo==
			Para una densidad lineal de carga debemos aplicar la fórmula

			<center><math>\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q\left(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right)}{\left\|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right\|^3}</math></center>

			donde, en este caso

			<center><math>\vec{r}=\vec{0}\qquad \qquad \vec{r}'=b\cos(\theta')\vec{\imath}+b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}</math></center>

			y, por tanto,

			<center><math>\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime} = -\vec{r}^{\,\prime}= -b\cos(\theta')\vec{\imath}-b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}\qquad\qquad \|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\|=\|\vec{r}^{\,\prime}\| = b</math></center>

			lo que nos deja con la integral

			<center><math>\vec{E}(\vec{0})=-\frac{\lambda_0 }{8\pi\varepsilon_0b }\int_0^{2\pi}\left(1+\cos(\theta')\right)\left(\cos(\theta')\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}\right)\mathrm{d}\theta'</math></center>

			El resultado se compone de dos integrales

			<center><math>\int_0^{2\pi}(1+ \cos(\theta'))\cos(\theta') \mathrm{d}\theta' = \int_0^{2\pi}\cos(\theta') \mathrm{d}\theta'+ \int_0^{2\pi}\cos^2(\theta') \mathrm{d}\theta' = \pi</math></center>

			<center><math>\int_0^{2\pi}(1+ \cos(\theta'))\mathrm{sen}(\theta') \mathrm{d}\theta' = \int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta') \mathrm{d}\theta'+ \int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\cos(\theta') \mathrm{d}\theta' = 0</math></center>

			por lo que el valor del campo es

			<center><math>\vec{E}(\vec{0})=-\frac{\lambda_0}{8\varepsilon_0 b}\vec{\imath}</math></center>

			==Potencial eléctrico en el centro del anillo==
			El cálculo del potencial se realiza de manera similar, pero es más simple. En general

			<center><math>V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q}{\left\|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right\|}</math></center>

			En el caso particular del centro del anillo, <math>\vec{r}=\vec{0}</math> y esta integral se reduce angular

			<center><math>V(\vec{0})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q}{b}= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 b}</math></center>

			Es decir, solo necesitamos el valor de la carga total, que ya calculamos en el primer apartado.

			<center><math>V(\vec{0})= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 b}=\frac{\lambda_0}{4\varepsilon_0}</math></center>

Antonio: Página creada con «==Enunciado== Un anillo de radio ''b'' se encuentra cargado con una densidad lineal de carga $\lambda =\lambda_0\cos^2(\theta'/2)$ . El anillo se encuentra situado en el plano OXY, centrado en el origen. θ' es la coordenada angular en cilíndricas (ángulo que el vector de posición forma con OX). # ¿Cuánto vale la carga total del anillo? # ¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro del anillo? # ¿Y el potencial eléctrico en el mismo punto? ==Carga…»

2024-04-11T11:36:14Z

Página creada con «==Enunciado== Un anillo de radio ''b'' se encuentra cargado con una densidad lineal de carga <math>\lambda =\lambda_0\cos^2(\theta'/2)</math>. El anillo se encuentra situado en el plano OXY, centrado en el origen. θ' es la coordenada angular en cilíndricas (ángulo que el vector de posición forma con OX). # ¿Cuánto vale la carga total del anillo? # ¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro del anillo? # ¿Y el potencial eléctrico en el mismo punto? ==Carga…»

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==Enunciado==
Un anillo de radio ''b'' se encuentra cargado con una densidad lineal de carga <math>\lambda =\lambda_0\cos^2(\theta'/2)</math>. El anillo se encuentra situado en el plano OXY, centrado en el origen. θ' es la coordenada angular en cilíndricas (ángulo que el vector de posición forma con OX).
# ¿Cuánto vale la carga total del anillo?
# ¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro del anillo?
# ¿Y el potencial eléctrico en el mismo punto?
==Carga total==
En primer lugar, debemos recordar la identidad trigonométrica

<center><math>\cos^2\left(\frac{\theta'}{2}\right) = \frac{1+ \cos(\theta')}{2}</math></center>

Tenemos, para la carga

<center><math>Q=\int_L \mathrm{d}q = \int_{0}^{2\pi}\lambda(\theta')\mathrm{d}\ell=\int_{0}^{2\pi}\frac{\lambda_0}{2}(1+\cos(\theta')b\mathrm{d}\theta'</math></center>

Esta integral es suma de dos integrales simples

<center><math>Q=\frac{\lambda_0b}{2}\left(\overbrace{\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta'}^{=2\pi}+\overbrace{\int_0^{2\pi}\cos(\theta') \mathrm{d}\theta'}^{=0}\right)= \pi\lambda_0 b</math></center>

Campo eléctrico de un anillo no homogéneo - Historial de revisiones

Antonio en 12:31 11 abr 2024