Campo eléctrico central (GIOI) - Historial de revisiones

Antonio: /* Energía almacenada */

2025-04-15T14:30:08Z

Energía almacenada

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Línea 103:		Línea 103:
	Podemos hallar la energía total almacenada integrando la densidad de energía eléctrica		Podemos hallar la energía total almacenada integrando la densidad de energía eléctrica

	<center><math>u_e=\frac{1}{2}\varepsilon_0\left\|\vec{E}\right\|^2=\left\{\begin{array}{rcc}\dfrac{\varepsilon_0E_0^2}{2} \left(\dfrac{r}{b}\right)^4 ~~\vec{u}_r~~& &(r<b)\\ && \\ \dfrac{\varepsilon_0E_0^2}{2} \left(\dfrac{b}{r}\right)^4 ~~\vec{u}_r~~& &(r>b)\end{array}\right.</math></center>		<center><math>u_e=\frac{1}{2}\varepsilon_0\left\|\vec{E}\right\|^2=\left\{\begin{array}{rcc}\dfrac{\varepsilon_0E_0^2}{2} \left(\dfrac{r}{b}\right)^4 & &(r<b)\\ && \\ \dfrac{\varepsilon_0E_0^2}{2} \left(\dfrac{b}{r}\right)^4 & &(r>b)\end{array}\right.</math></center>

	La energía electrostática es igual al		La energía electrostática es igual al

Antonio: /* Potencial eléctrico en el origen */

2025-04-15T14:29:33Z

Potencial eléctrico en el origen

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Línea 96:		Línea 96:
	<center><math>V_0=-\int_{\infty}^0 \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-\int_{\infty}^b E_0\frac{E_0 b^2}{r^2}\mathrm{d}r-\int_b^0 \frac{E_0r^2}{b^2}\mathrm{d}r =\left. \frac{E_0b^2}{r}\right\|_{\infty}^b-\left.\frac{E_0 r^3}{3b^2}\right\|_{b}^0 = \frac{4}{3}E_0b</math></center>		<center><math>V_0=-\int_{\infty}^0 \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-\int_{\infty}^b E_0\frac{E_0 b^2}{r^2}\mathrm{d}r-\int_b^0 \frac{E_0r^2}{b^2}\mathrm{d}r =\left. \frac{E_0b^2}{r}\right\|_{\infty}^b-\left.\frac{E_0 r^3}{3b^2}\right\|_{b}^0 = \frac{4}{3}E_0b</math></center>
	===Por integración directa===		===Por integración directa===
			Puesto que conocemos la densidad de carga que crea el campo, podemos hallar el potencial eléctrico en el origen de coordenadas de la misma manera que en el problema “[[Potencial de distribuciones esféricas]]”. El resultado es

			<center><math>V_O=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^b \frac{4\pi r'^2\rho(r')\mathrm{d}r'}{r'} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_0^b \frac{4\varepsilon_0 E_0r'^2}{b^2}\mathrm{d}r'=\frac{4E_0}{b^2}\,\frac{b^3}{3}=\frac{4}{3}E_0b</math></center>

	==Energía almacenada==		==Energía almacenada==
	Podemos hallar la energía total almacenada integrando la densidad de energía eléctrica		Podemos hallar la energía total almacenada integrando la densidad de energía eléctrica

Antonio: /* Densidad de carga */

2025-04-15T14:28:10Z

Densidad de carga

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Línea 80:		Línea 80:
	:y queda la densidad de carga		:y queda la densidad de carga

	<center><math>\rho=\frac{4\varepsilon_0 E_0r}{b^2}\qquad\qquad (r>b)</math></center>		<center><math>\rho=\frac{4\varepsilon_0 E_0r}{b^2}\qquad\qquad (r<b)</math></center>

	* En <math>r > b</math>		* En <math>r > b</math>

Antonio: /* Enunciado */

2025-04-15T14:01:22Z

Enunciado

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Línea 4:		Línea 4:
	<center><math>\vec{E}=\left\{\begin{array}{rcc}E_0 \left(\dfrac{r}{b}\right)^2 \vec{u}_r& &(r<b)\\ && \\ E_0 \left(\dfrac{b}{r}\right)^2 \vec{u}_r& &(r>b)\end{array}\right.</math></center>		<center><math>\vec{E}=\left\{\begin{array}{rcc}E_0 \left(\dfrac{r}{b}\right)^2 \vec{u}_r& &(r<b)\\ && \\ E_0 \left(\dfrac{b}{r}\right)^2 \vec{u}_r& &(r>b)\end{array}\right.</math></center>
	# ¿Cuánto vale la carga total almacenada en el sistema?		# ¿Cuánto vale la carga total almacenada en el sistema?
	# ¿Cuánto vale la densidad de carga ~~ρ ~~=~~ ρ~~(r)?		# ¿Cuánto vale la densidad de carga <math>\rho=\rho(r)</math>?
	# ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordenadas (tomando como origen de potencial el infinito)?		# ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordenadas (tomando como origen de potencial el infinito)?
	# ¿Cuánta energía almacena este sistema?		# ¿Cuánta energía almacena este sistema?

Antonio: Página creada con «==Enunciado== El campo eléctrico en todos los puntos del espacio viene dado por la expresión $\vec{E}=\left\{\begin{array}{rcc}E_0 \left(\dfrac{r}{b}\right)^2 \vec{u}_r& &(r b)\end{array}\right.$ # ¿Cuánto vale la carga total almacenada en el sistema? # ¿Cuánto vale la densidad de carga ρ = ρ(r)? # ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordena…»

2025-04-15T14:00:46Z

Página creada con «==Enunciado== El campo eléctrico en todos los puntos del espacio viene dado por la expresión <center><math>\vec{E}=\left\{\begin{array}{rcc}E_0 \left(\dfrac{r}{b}\right)^2 \vec{u}_r& &(r<b)\\ && \\ E_0 \left(\dfrac{b}{r}\right)^2 \vec{u}_r& &(r>b)\end{array}\right.</math></center> # ¿Cuánto vale la carga total almacenada en el sistema? # ¿Cuánto vale la densidad de carga ρ = ρ(r)? # ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordena…»

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==Enunciado==
El campo eléctrico en todos los puntos del espacio viene dado por la expresión

<center><math>\vec{E}=\left\{\begin{array}{rcc}E_0 \left(\dfrac{r}{b}\right)^2 \vec{u}_r& &(r<b)\\ && \\ E_0 \left(\dfrac{b}{r}\right)^2 \vec{u}_r& &(r>b)\end{array}\right.</math></center>
# ¿Cuánto vale la carga total almacenada en el sistema?
# ¿Cuánto vale la densidad de carga ρ = ρ(r)?
# ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordenadas (tomando como origen de potencial el infinito)?
# ¿Cuánta energía almacena este sistema?

==Carga total==
===A partir del flujo===
Para conocer la carga total poremos aplicar la ley de Gauss

<center><math>Q_\mathrm{int}=\varepsilon_0\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}</math></center>

Puesto que queremos hallar la carga total, la superficie de integración debe ser una que contenga toda la carga. Esta superficie es una esfera cuyo radio tiende a infinito. Por tanto

<center><math>Q_T=\lim_{R\to\infty}\varepsilon_0\oint_{r=R} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}</math></center>

Sobre una superficie esférica de gran radio

<center><math>\vec{E} =E(r)\vec{u}_r\qquad\mathrm{d}\vec{S}=\mathrm{d}S\,\vec{u}_r\qquad\Rightarrow\qquad\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=E(r)\,\mathrm{d}S</math></center>

Puesto que el integrando tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie

<center><math>\oint_{r=R} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\oint_{r=R} E(r)\,\mathrm{d}S=E(R)S=4\pi R^2 E(R)</math></center>

y por tanto la carga total es

<center><math>Q_T=\lim_{R\to infty}\varepsilon_0(4\pi R^2)E_0\left(\frac{b}{R}\right)^2=4\pi\varepsilon_0 b^2 E_0</math></center>
===Identificando el campo===
Podemos llegar directamente a este resultado observando que para r > b el campo es de la forma

<center><math>\vec{E}=\frac{R_0b^2}{r^2}\vec{u}_r</math></center>

es decir:

* es radial
* depende solo de la distancia al origen
* va como la inversa del cuadrado de la distancia al origen

Estas propiedades lo identifican como el campo de una carga puntual

<center><math>\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_T}{r^2}\vec{u}_r</math></center>

Igualando los coeficientes

<center><math>E_0 b^2 = \frac{Q_T}{4\pi\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad Q_T=4\pi\varepsilon_0 b^2 E_0</math></center>
==Densidad de carga==
El cálculo general de la densidad de carga requiere operaciones con derivadas parciales (lo que se conoce como la ''divergencia''), pero en el caso de un campo central podemos hacer un cálculo más simple.

Si el campo es central <math>\vec{E}(\vec{r})=E(r)\vec{u}_r</math>, la densidad de carga que lo produce depende solo de la distancia al centro, <math>\rho=\rho(r)</math>.

Para hallar esta densidad consideramos la diferencia entre el flujo del campo en una esfera de radio r y una de radio r + dr. La diferencia entre ambos es igual a la carga contenida en una superficie esférica de radio r y espesor dr

<center><math>\oint_{r+\mathrm{d}r}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}-\oint_{r}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{Q_\mathrm{int}(r+\mathrm{d}r)-Q_\mathrm{int}(r)}{\varepsilon_0}=\frac{4\pi r^2\,\mathrm{d}r\rho}{\varepsilon_0}</math></center>

A su vez, por ser un campo central, cada uno de los flujos es de la forma

<center><math>\Phi(r)=\oint_{r}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=4\pi r^2 E(r)</math></center>

por lo que nos queda la relación

<center><math>\rho(r)=\frac{\varepsilon_0}{4\pi r^2}\,\frac{\Phi(r+\mathrm{d}r)-\Phi(r)}{\mathrm{d}r}</math></center>

Esto no es más que una derivada. Obtenemos entonces

<center><math>\rho=\frac{\varepsilon_0}{4\pi r^2}\,\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}r}=\frac{\varepsilon_0}{4\pi r^2}\,\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}r}\left(4\pi r^2 E\right)</math></center>

y, finalmente,

<center><math>\rho(r)=\frac{\varepsilon_0}{r^2}\,\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}r}(r^2E)</math></center>

Este resultado vale para cualquier campo eléctrico central. Aplicándolo a nuestro caso, queda

* En <math>r < b</math>

<center><math>E=E_0\frac{r^2}{b^2}\qquad\qquad r^2E=E_0\frac{r^4}{b^2}\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}r}(r^2E)=\frac{4E_0 r^3}{b^2}</math></center>

:y queda la densidad de carga

<center><math>\rho=\frac{4\varepsilon_0 E_0r}{b^2}\qquad\qquad (r>b)</math></center>

* En <math>r > b</math>

<center><math>E=E_0\frac{b^2}{0^2}\qquad\qquad r^2E=E_0{b^2}\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}r}(r^2E)=0</math></center>

:y queda la densidad de carga

<center><math>\rho=0\qquad\qquad (r>b)</math></center>

==Potencial eléctrico en el origen==
===Integrando el campo===
Dado que tenemos el campo en todos los puntos del espacio, podemos hallar el potencial en el origen integrando desde el infinito a lo largo de un camino radial

<center><math>V_0=-\int_{\infty}^0 \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-\int_{\infty}^b E_0\frac{E_0 b^2}{r^2}\mathrm{d}r-\int_b^0 \frac{E_0r^2}{b^2}\mathrm{d}r =\left. \frac{E_0b^2}{r}\right|_{\infty}^b-\left.\frac{E_0 r^3}{3b^2}\right|_{b}^0 = \frac{4}{3}E_0b</math></center>
===Por integración directa===
==Energía almacenada==
Podemos hallar la energía total almacenada integrando la densidad de energía eléctrica

<center><math>u_e=\frac{1}{2}\varepsilon_0\left|\vec{E}\right|^2=\left\{\begin{array}{rcc}\dfrac{\varepsilon_0E_0^2}{2} \left(\dfrac{r}{b}\right)^4 \vec{u}_r& &(r<b)\\ && \\ \dfrac{\varepsilon_0E_0^2}{2} \left(\dfrac{b}{r}\right)^4 \vec{u}_r& &(r>b)\end{array}\right.</math></center>

La energía electrostática es igual al

<center><math>U_e=\int u_e\,\mathrm{d}v</math></center>

donde la integral se extiende a todo el espacio. Dividimos éste en capas concéntricas de radio r y espesor dr y queda

<center><math>U_e=\int_0^b \dfrac{\varepsilon_0E_0^2}{2} \left(\dfrac{r}{b}\right)^44\pi r^2\,\mathrm{d}r+\int_b^\infty \dfrac{\varepsilon_0E_0^2}{2} \left(\dfrac{b}{r}\right)^44\pi r^2\,\mathrm{d}r</math></center>

Extraemos todos los factores posibles

<center><math>U_e=\frac{2\pi\varepsilon_0E_0^2}{b^4}\int_0^br^6\,\mathrm{d}r+2\pi\varepsilon_0E_0^2b^4\int_b^\infty\frac{\mathrm{d}r}{r^2}=\frac{16\pi\varepsilon_0E_0b^3}{7}</math></center>