Antonio: Página creada con «==Enunciado== {{nivel|4}} Calcule el campo eléctrico producido por un segmento rectilíneo de longitud $2a$ cargado uniformemente con una densidad de carga $\lambda_0$ , en cualquier punto del plano perpendicular al segmento por su punto medio. ==Solución== El campo eléctrico creado por una distribución lineal de carga es $\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_L\frac{\lambda(\vec{r}-\vec{r}')\mathrm{d}l'}{|\vec{r}-\v…»$

2024-04-12T22:44:14Z

Página creada con «==Enunciado== {{nivel|4}} Calcule el campo eléctrico producido por un segmento rectilíneo de longitud <math>2a</math> cargado uniformemente con una densidad de carga <math>\lambda_0</math>, en cualquier punto del plano perpendicular al segmento por su punto medio. ==Solución== El campo eléctrico creado por una distribución lineal de carga es <center><math>\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_L\frac{\lambda(\vec{r}-\vec{r}')\mathrm{d}l'}{|\vec{r}-\v…»

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==Enunciado==
{{nivel|4}} Calcule el campo eléctrico producido por un segmento rectilíneo de longitud <math>2a</math> cargado uniformemente con una densidad de carga <math>\lambda_0</math>, en cualquier punto del plano perpendicular al segmento por su punto medio.

==Solución==
El campo eléctrico creado por una distribución lineal de carga es

<center><math>\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_L\frac{\lambda(\vec{r}-\vec{r}')\mathrm{d}l'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}</math></center>

En nuestro caso, situamos el segmento cargado en el eje OZ y centrado en el origen de coordenadas, de forma que los puntos donde se encuentran las cargas cumplen

<center><math>\vec{r}'=z'\vec{k}\qquad \qquad \mathrm{d}\vec{r}'=\mathrm{d}z'\vec{k}\qquad\qquad \mathrm{d}l'=|\mathrm{d}\vec{r}'|=\mathrm{d}z'</math></center>

la variable <math>z'</math> irá de <math>-a</math> a <math>+a</math>.

Para los puntos donde medimos el campo nos dicen que se trata de un punto del plano central <math>z=0</math>
<center><math>
\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}</math></center>

No obstante, dado que el sistema tiene simetría de revolución respecto al eje Z podemos considerar simplemente un punto del eje OX y luego generalizar. En este caso

<center><math>\vec{r}=x\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{r}-\vec{r}'=x\vec{\imath}-z'\vec{k}\qquad\qquad \left|\vec{r}-\vec{r}'\right|=\sqrt{x^2+z'^2}</math></center>

Llevando esto a la integral nos queda

<center><math>\vec{E}=\frac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-a}^a\frac{\left(x\vec{\imath}-z'\vec{k}\right)\mathrm{d}z'}{(x^2+z'^2)^{3/2}}</math></center>

Esta integral vectorial se descompone en dos integrales escalares. De éstas, la segunda se anula

<center><math>\int_{-a}^a \frac{z'\,\mathrm{d}z'}{(x^2+z'^2)^{3/2}}=0</math></center>

por tratarse de una integral de una función impar sobre un intervalo simétrico. Esto nos deja con

<center><math>\vec{E}=\frac{\lambda_0x\vec{\imath}}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-a}^a\frac{\mathrm{d}z'}{(x^2+z'^2)^{3/2}}</math></center>

[[Archivo:Segmentocargado-02.png|400px|center]]

Esta integral se resuelve mediante el cambio de variable

<center><math>z'=x\,\mathrm{tg}(\alpha)\qquad\Rightarrow\qquad x^2+z'^2 = \frac{x^2}{\cos^2(\alpha)}\qquad\qquad \mathrm{d}z'=\frac{x\,\mathrm{d}\alpha}{\cos^2(\alpha)}</math></center>

Este ángulo posee una interpretación geométrica: es el ángulo de elevación respecto a la horizontal con el que se ve un punto del segmento desde la posición donde queremos hallar el campo. Con este cambio de variable la integral se transforma en

<center><math>\vec{E}=\frac{\lambda_0 x\vec{\imath}}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\alpha_0}^{\alpha_0}\frac{x\,\mathrm{d}\alpha}{\cos^2(\alpha)}\,\frac{\cos^3(\alpha)}{x^3}=\frac{\lambda_0\vec{\imath}}{4\pi\varepsilon_0 x}\int_{-\alpha_0}^{\alpha_0}\cos(\alpha)\mathrm{d}\alpha</math></center>

El límite de integración lo da el ángulo de elevación del extremo del segmento

<center><math>\mathrm{tg}(\alpha)_0=\frac{a}{x}\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{sen}(\alpha_0)=\frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}</math></center>

Con esto, la expresión para el campo eléctrico queda

<center><math>\vec{E}=\frac{\lambda_0 \mathrm{sen}(\alpha_0)\vec{\imath}}{2\pi\varepsilon_0 x}=\frac{\lambda_0 a\vec{\imath}}{2\pi\varepsilon_0 x\sqrt{x^2+a^2}}</math></center>

Campo de un segmento (GIOI) - Historial de revisiones