Campo de un anillo homogéneo (GIOI) - Historial de revisiones

Antonio: /* Solución */

2025-03-31T17:13:40Z

Solución

← Revisión anterior		Revisión del 19:13 31 mar 2025
Línea 53:		Línea 53:
	Si representamos la componente <math>E_z</math> del campo como función de la distancia al plano del anillo, obtenemos que en el punto central el campo es nulo, y que también se anula en puntos muy alejados del él, pero a distancias intermedias crece hasta un valor máximo. El sentido del campo es siempre alejándose del anillo (suponiendo su carga positiva) lo que se manifiesta en que el signo de la componente <math>E_z</math> es positiva para <math>z> 0</math> y negativa para <math>z < 0</math>		Si representamos la componente <math>E_z</math> del campo como función de la distancia al plano del anillo, obtenemos que en el punto central el campo es nulo, y que también se anula en puntos muy alejados del él, pero a distancias intermedias crece hasta un valor máximo. El sentido del campo es siempre alejándose del anillo (suponiendo su carga positiva) lo que se manifiesta en que el signo de la componente <math>E_z</math> es positiva para <math>z> 0</math> y negativa para <math>z < 0</math>

	[[Archivo:Campo-anillo-01.png\|centro\|alt=Campo de un anillo]]		[[Archivo:Campo-anillo-01.png\|centro\|500px\|alt=Campo de un anillo]]

			Podemos comparar este campo con el de una carga puntual. Esto se ve más claro si se usa una escala log-log, es decir, en el eje X los puntos se escalan como el logaritmo de la distancia y en el eje Y como el logaritmo del campo. En este tipo de gráfica el campo de una carga puntual se reduce a una línea recta de pendiente -2 (por la dependencia con la inversa del cuadrado de la distancia). El campo del anillo es diferente para distancias pequeñas pero para distancias iguales o superiores a 10 veces el radio ya es prácticamente indistinguible del de una carga puntual

			[[Archivo:log-campo-anillo-01.png\|centro\|500px\|alt=Campo de un anillo]]

Antonio: /* Solución */

2025-03-31T17:07:45Z

Solución

← Revisión anterior		Revisión del 19:07 31 mar 2025
Línea 52:		Línea 52:

	Si representamos la componente <math>E_z</math> del campo como función de la distancia al plano del anillo, obtenemos que en el punto central el campo es nulo, y que también se anula en puntos muy alejados del él, pero a distancias intermedias crece hasta un valor máximo. El sentido del campo es siempre alejándose del anillo (suponiendo su carga positiva) lo que se manifiesta en que el signo de la componente <math>E_z</math> es positiva para <math>z> 0</math> y negativa para <math>z < 0</math>		Si representamos la componente <math>E_z</math> del campo como función de la distancia al plano del anillo, obtenemos que en el punto central el campo es nulo, y que también se anula en puntos muy alejados del él, pero a distancias intermedias crece hasta un valor máximo. El sentido del campo es siempre alejándose del anillo (suponiendo su carga positiva) lo que se manifiesta en que el signo de la componente <math>E_z</math> es positiva para <math>z> 0</math> y negativa para <math>z < 0</math>

			[[Archivo:Campo-anillo-01.png\|centro\|alt=Campo de un anillo]]

Antonio: /* Solución */

2024-04-10T21:11:41Z

Solución

← Revisión anterior		Revisión del 23:11 10 abr 2024
Línea 38:		Línea 38:
	Llevamos todo esto a la expresión integral y sacamos factor común todo aquello que sea constante de cara a la integral. Esto nos da		Llevamos todo esto a la expresión integral y sacamos factor común todo aquello que sea constante de cara a la integral. Esto nos da

	<center><math>\vec{E}(z\vec{k})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_L \frac{\mathrm{d}q'(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime})}{\|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\|^3}=\\ =\frac{Q}{(4\pi\varepsilon_0)(2\pi)(b^2+z^2)^{3/2}}\left(-b\vec{\imath}\int_0^{2\pi}\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'-b\vec{\jmath}\int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\mathrm{d}\theta'+z\vec{k}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta'\right)</math></center>		<center><math>\vec{E}(z\vec{k})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_L \frac{\mathrm{d}q'(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime})}{\|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\|^3}=</math></center>
			<center><math>=\frac{Q}{(4\pi\varepsilon_0)(2\pi)(b^2+z^2)^{3/2}}\left(-b\vec{\imath}\int_0^{2\pi}\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'-b\vec{\jmath}\int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\mathrm{d}\theta'+z\vec{k}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta'\right)</math></center>

	Esta integral parece muy complicada, pero en realidad es muy sencilla. Se reduce a calcular tres integrales inmediatas		Esta integral parece muy complicada, pero en realidad es muy sencilla. Se reduce a calcular tres integrales inmediatas

Antonio: /* Solución */

2024-04-10T21:11:11Z

Solución

← Revisión anterior		Revisión del 23:11 10 abr 2024
Línea 38:		Línea 38:
	Llevamos todo esto a la expresión integral y sacamos factor común todo aquello que sea constante de cara a la integral. Esto nos da		Llevamos todo esto a la expresión integral y sacamos factor común todo aquello que sea constante de cara a la integral. Esto nos da

	<center><math>\vec{E}(z\vec{k})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_L \frac{\mathrm{d}q'(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime})}{\|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\|^3}=\frac{Q}{(4\pi\varepsilon_0)(2\pi)(b^2+z^2)^{3/2}}\left(-b\vec{\imath}\int_0^{2\pi}\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'-b\vec{\jmath}\int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\mathrm{d}\theta'+z\vec{k}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta'\right)</math></center>		<center><math>\vec{E}(z\vec{k})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_L \frac{\mathrm{d}q'(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime})}{\|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\|^3}=\\ =\frac{Q}{(4\pi\varepsilon_0)(2\pi)(b^2+z^2)^{3/2}}\left(-b\vec{\imath}\int_0^{2\pi}\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'-b\vec{\jmath}\int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\mathrm{d}\theta'+z\vec{k}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta'\right)</math></center>

	Esta integral parece muy complicada, pero en realidad es muy sencilla. Se reduce a calcular tres integrales inmediatas		Esta integral parece muy complicada, pero en realidad es muy sencilla. Se reduce a calcular tres integrales inmediatas

Antonio: Página creada con «==Enunciado== {{nivel|3}} Calcule, por integración directa, el campo eléctrico en los puntos del eje de un anillo de radio ''b'' que almacena una carga ''Q'' distribuida uniformemente. ==Solución== right Calculamos el campo eléctrico empleando el principio de superposición. Consideramos el anillo formado por pequeños elementos de carga, cada una de los cuales produce una contribución diferencial al campo $\mat…»$

2024-04-10T21:08:46Z

Página creada con «==Enunciado== {{nivel|3}} Calcule, por integración directa, el campo eléctrico en los puntos del eje de un anillo de radio ''b'' que almacena una carga ''Q'' distribuida uniformemente. ==Solución== right Calculamos el campo eléctrico empleando el principio de superposición. Consideramos el anillo formado por pequeños elementos de carga, cada una de los cuales produce una contribución diferencial al campo <center><math>\mat…»

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==Enunciado==
{{nivel|3}} Calcule, por integración directa, el campo eléctrico en los puntos del eje de un anillo de radio ''b'' que almacena una carga ''Q'' distribuida uniformemente.
==Solución==
[[Archivo:campo-anillo-suma-01.jpg|right]]

Calculamos el campo eléctrico empleando el principio de superposición. Consideramos el anillo formado por pequeños elementos de carga, cada una de los cuales produce una contribución diferencial al campo

<center><math>\mathrm{d}\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathrm{d}q(\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}</math></center>

siendo
* <math>\vec{r}</math> la posición del punto P donde queremos hallar el campo,
* <math>\vec{r}^{\,\prime}</math> la posición de los puntos donde se hallan las cargas
* <math>(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime})</math> la posición relativa de P al elemento de carga
* <math>|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|</math> la distancia de P al elemento de carga

En el caso del anillo con una carga uniformemente distribuida, dividimos el anillo en segmentos de longitud <math>\mathrm{d}l=R\,\mathrm{d}\theta'</math>, cada uno de los cuales tiene una carga

<center><math>\mathrm{d}q = \lambda\,\mathrm{d}\ell=\frac{Q}{L}\mathrm{d}\ell = \frac{Q}{2\pi b}b\mathrm{d}\theta'=\frac{Q}{2\pi}\mathrm{d}\theta'</math></center>

[[Archivo:campo-anillo-suma-02.jpg|right]]

La posición del punto P donde queremos hallar el campo es un punto del eje

<center><math>\vec{r}=z\vec{k}</math></center>

y la de los elementos de carga, en función del ángulo <math>\theta'</math>

<center><math>\vec{r}=b\cos(\theta')\vec{\imath}+b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}</math></center>

La posición relativa es la diferencia de estos dos vectores

<center><math>\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}=-b\cos(\theta')\vec{\imath}-b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}+z\vec{k}</math></center>

La distancia entre cada punto del anillo y un punto del eje es la misma para todos ellos. Por el teorema de Pitágoras

<center><math>|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}| = \sqrt{b^2+z^2}</math></center>

Llevamos todo esto a la expresión integral y sacamos factor común todo aquello que sea constante de cara a la integral. Esto nos da

<center><math>\vec{E}(z\vec{k})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_L \frac{\mathrm{d}q'(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime})}{|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|^3}=\frac{Q}{(4\pi\varepsilon_0)(2\pi)(b^2+z^2)^{3/2}}\left(-b\vec{\imath}\int_0^{2\pi}\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'-b\vec{\jmath}\int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\mathrm{d}\theta'+z\vec{k}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta'\right)</math></center>

Esta integral parece muy complicada, pero en realidad es muy sencilla. Se reduce a calcular tres integrales inmediatas

<center><math>\int_0^{2\pi}\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'=0\qquad\qquad \int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\mathrm{d}\theta'=0\qquad\qquad \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta'=2\pi</math></center>

La anulación de las dos primeras integrales expresa que, en un anillo las componentes horizontales del campo debido a un elemento de carga se anulan con las del punto diametralmente opuesto, quedando solo las componentes verticales.

El resultado final es

<center><math>\vec{E}(z\vec{k})=\frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(b^2+z^2)^{3/2}}\vec{k}</math></center>

Si representamos la componente <math>E_z</math> del campo como función de la distancia al plano del anillo, obtenemos que en el punto central el campo es nulo, y que también se anula en puntos muy alejados del él, pero a distancias intermedias crece hasta un valor máximo. El sentido del campo es siempre alejándose del anillo (suponiendo su carga positiva) lo que se manifiesta en que el signo de la componente <math>E_z</math> es positiva para <math>z> 0</math> y negativa para <math>z < 0</math>