Campo de distribuciones esféricas (GIOI) - Historial de revisiones

Antonio: /* Una esfera no uniforme */

2025-04-11T11:38:09Z

Una esfera no uniforme

← Revisión anterior		Revisión del 13:38 11 abr 2025
Línea 200:		Línea 200:
	;Punto interior: La integral abarca parte de la carga total, siendo valor		;Punto interior: La integral abarca parte de la carga total, siendo valor

	<center><math>Q_\mathrm{int}(r) = 4\pi A\int_0^r (b-2r')r'^2\mathrm{d}r'=4\pi A\left(\frac{br^3}{3}-2\frac{r^4}{4}\right)=\frac{2\pi A r^3(2b-3r)}{3}\qquad (r < b)</math></center>		<center><math>Q_\mathrm{int}(r) = 4\pi A\int_0^r (b-r')r'^2\mathrm{d}r'=4\pi A\left(\frac{br^3}{3}-\frac{r^4}{4}\right)=\frac{\pi A r^3(4b-3r)}{3}\qquad (r < 2b)</math></center>

	:siendo el campo		:siendo el campo

	<center><math>\vec{E}=\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r = \frac{A r(2b-3r)}{6\varepsilon_0}\vec{u}_r\qquad (r < b)</math></center>		<center><math>\vec{E}=\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r = \frac{A r(4b-3r)}{12\varepsilon_0}\vec{u}_r\qquad (r < 2b)</math></center>

	<center>[[Archivo:esfera-densidad-radial-02.png]]{{qquad}}[[Archivo:esfera-densidad-radial-03.png]]</center>		<center>[[Archivo:esfera-densidad-radial-02.png]]{{qquad}}[[Archivo:esfera-densidad-radial-03.png]]</center>
Línea 210:		Línea 210:
	;Punto exterior: En este caso hay que tener en cuenta que la densidad de carga “se acaba” al llegar a <math>r=b</math>. En el exterior de la esfera no hay carga, por lo que si consideramos una superficie con <math>r >b</math> la carga encerrada es toda la que hay		;Punto exterior: En este caso hay que tener en cuenta que la densidad de carga “se acaba” al llegar a <math>r=b</math>. En el exterior de la esfera no hay carga, por lo que si consideramos una superficie con <math>r >b</math> la carga encerrada es toda la que hay

	<center><math>Q_\mathrm{int}(r>b) = 4\pi A\int_0^b (b-2r')r'^2\mathrm{d}r'=4\pi A\left(\frac{b^4}{3}-\frac{b^4}{2}\right)=-\frac{2\pi A b^4}{3}\qquad (r > b)</math></center>		<center><math>Q_\mathrm{int}(r>2b) = 4\pi A\int_0^{2b} (b-r')r'^2\mathrm{d}r'=4\pi A\left(\frac{b(2b)^3}{3}-\frac{(2b)^4}{4}\right)=-\frac{16\pi A b^4}{3}\qquad (r > 2b)</math></center>

	:siendo el campo exterior el de una carga puntual negativa		:siendo el campo exterior el de una carga puntual negativa

	<center><math>\vec{E}=\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r = -\frac{A b^4}{6\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r\qquad (r > b)</math></center>		<center><math>\vec{E}=\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r = -\frac{4A b^4}{3\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r\qquad (r > b)</math></center>

	~~[[Archivo:dependencia-esfera-no-uniforme.png\|center]]~~

	La gráfica de la dependencia del campo eléctrico con la distancia al centro es más complicada que en los casos anteriores. En el interior el campo sigue una dependencia parabólica. Cerca del centro, cargado positivamente, el campo va hacia al exterior (signo positivo en la gráfica), a medida que nos alejamos, el campo de la carga negativa compensa el de la positiva (a una distancia <math>r = 2b/3</math> en que el campo se anula) y a partir de ahí lo supera, produciendo un campo hacia adentro (signo negativo en la gráfica). Para <math>r > b</math> tenemos el decaimiento como la inversa del cuadrado, característica de una una carga puntual, negativa en este caso.

Antonio: /* Una esfera no uniforme */

2024-04-14T20:00:44Z

Una esfera no uniforme

← Revisión anterior		Revisión del 22:00 14 abr 2024
Línea 216:		Línea 216:
	<center><math>\vec{E}=\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r = -\frac{A b^4}{6\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r\qquad (r > b)</math></center>		<center><math>\vec{E}=\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r = -\frac{A b^4}{6\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r\qquad (r > b)</math></center>

	[[Archivo:dependencia-esfera-no-uniforme.png\|~~right~~]]La gráfica de la dependencia del campo eléctrico con la distancia al centro es más complicada que en los casos anteriores. En el interior el campo sigue una dependencia parabólica. Cerca del centro, cargado positivamente, el campo va hacia al exterior (signo positivo en la gráfica), a medida que nos alejamos, el campo de la carga negativa compensa el de la positiva (a una distancia <math>r = 2b/3</math> en que el campo se anula) y a partir de ahí lo supera, produciendo un campo hacia adentro (signo negativo en la gráfica). Para <math>r > b</math> tenemos el decaimiento como la inversa del cuadrado, característica de una una carga puntual, negativa en este caso.		[[Archivo:dependencia-esfera-no-uniforme.png\|center]]

			La gráfica de la dependencia del campo eléctrico con la distancia al centro es más complicada que en los casos anteriores. En el interior el campo sigue una dependencia parabólica. Cerca del centro, cargado positivamente, el campo va hacia al exterior (signo positivo en la gráfica), a medida que nos alejamos, el campo de la carga negativa compensa el de la positiva (a una distancia <math>r = 2b/3</math> en que el campo se anula) y a partir de ahí lo supera, produciendo un campo hacia adentro (signo negativo en la gráfica). Para <math>r > b</math> tenemos el decaimiento como la inversa del cuadrado, característica de una una carga puntual, negativa en este caso.

Antonio: /* Una esfera no unidorme */

2024-04-14T19:56:10Z

Una esfera no unidorme

← Revisión anterior		Revisión del 21:56 14 abr 2024
Línea 181:		Línea 181:
	<center><math>\rho_0=\frac{Q}{4\pi b^3/3}=\frac{3Q}{4\pi b^3}</math></center>		<center><math>\rho_0=\frac{Q}{4\pi b^3/3}=\frac{3Q}{4\pi b^3}</math></center>

	==Una esfera no ~~unidorme~~==		==Una esfera no uniforme==
	Cuando tenemos una densidad variable es necesario hallar de forma integral la cantidad de carga encerrada.		Cuando tenemos una densidad variable es necesario hallar de forma integral la cantidad de carga encerrada.

Antonio: /* Una esfera no unidorme */

2024-04-14T19:55:58Z

Una esfera no unidorme

← Revisión anterior		Revisión del 21:55 14 abr 2024
Línea 200:		Línea 200:
	;Punto interior: La integral abarca parte de la carga total, siendo valor		;Punto interior: La integral abarca parte de la carga total, siendo valor

	<center><math>Q_\mathrm{int}(r) = 4\pi A\int_0^r (R-2r')r'^2\mathrm{d}r'=4\pi A\left(\frac{Rr^3}{3}-2\frac{r^4}{4}\right)=\frac{2\pi A r^3(2R-3r)}{3}\qquad (r < R)</math></center>		<center><math>Q_\mathrm{int}(r) = 4\pi A\int_0^r (b-2r')r'^2\mathrm{d}r'=4\pi A\left(\frac{br^3}{3}-2\frac{r^4}{4}\right)=\frac{2\pi A r^3(2b-3r)}{3}\qquad (r < b)</math></center>

	:siendo el campo		:siendo el campo

	<center><math>\vec{E}=\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r = \frac{A r(2R-3r)}{6\varepsilon_0}\vec{u}_r\qquad (r < R)</math></center>		<center><math>\vec{E}=\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r = \frac{A r(2b-3r)}{6\varepsilon_0}\vec{u}_r\qquad (r < b)</math></center>

	<center>[[Archivo:esfera-densidad-radial-02.png]]{{qquad}}[[Archivo:esfera-densidad-radial-03.png]]</center>		<center>[[Archivo:esfera-densidad-radial-02.png]]{{qquad}}[[Archivo:esfera-densidad-radial-03.png]]</center>

	;Punto exterior: En este caso hay que tener en cuenta que la densidad de carga “se acaba” al llegar a <math>r=R</math>. En el exterior de la esfera no hay carga, por lo que si consideramos una superficie con <math>r >R</math> la carga encerrada es toda la que hay		;Punto exterior: En este caso hay que tener en cuenta que la densidad de carga “se acaba” al llegar a <math>r=b</math>. En el exterior de la esfera no hay carga, por lo que si consideramos una superficie con <math>r >b</math> la carga encerrada es toda la que hay

	<center><math>Q_\mathrm{int}(r>R) = 4\pi A\int_0^R (R-2r')r'^2\mathrm{d}r'=4\pi A\left(\frac{R^4}{3}-\frac{R^4}{2}\right)=-\frac{2\pi A R^4}{3}\qquad (r > R)</math></center>		<center><math>Q_\mathrm{int}(r>b) = 4\pi A\int_0^b (b-2r')r'^2\mathrm{d}r'=4\pi A\left(\frac{b^4}{3}-\frac{b^4}{2}\right)=-\frac{2\pi A b^4}{3}\qquad (r > b)</math></center>

	:siendo el campo exterior el de una carga puntual negativa		:siendo el campo exterior el de una carga puntual negativa

	<center><math>\vec{E}=\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r = -\frac{A R^4}{6\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r\qquad (r > R)</math></center>		<center><math>\vec{E}=\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r = -\frac{A b^4}{6\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r\qquad (r > b)</math></center>

	[[Archivo:dependencia-esfera-no-uniforme.png\|right]]La gráfica de la dependencia del campo eléctrico con la distancia al centro es más complicada que en los casos anteriores. En el interior el campo sigue una dependencia parabólica. Cerca del centro, cargado positivamente, el campo va hacia al exterior (signo positivo en la gráfica), a medida que nos alejamos, el campo de la carga negativa compensa el de la positiva (a una distancia <math>r = 2R/3</math> en que el campo se anula) y a partir de ahí lo supera, produciendo un campo hacia adentro (signo negativo en la gráfica). Para <math>r > R</math> tenemos el decaimiento como la inversa del cuadrado, característica de una una carga puntual, negativa en este caso.		[[Archivo:dependencia-esfera-no-uniforme.png\|right]]La gráfica de la dependencia del campo eléctrico con la distancia al centro es más complicada que en los casos anteriores. En el interior el campo sigue una dependencia parabólica. Cerca del centro, cargado positivamente, el campo va hacia al exterior (signo positivo en la gráfica), a medida que nos alejamos, el campo de la carga negativa compensa el de la positiva (a una distancia <math>r = 2b/3</math> en que el campo se anula) y a partir de ahí lo supera, produciendo un campo hacia adentro (signo negativo en la gráfica). Para <math>r > b</math> tenemos el decaimiento como la inversa del cuadrado, característica de una una carga puntual, negativa en este caso.

Antonio: /* Un volumen esférico */

2024-04-14T17:54:22Z

Un volumen esférico

← Revisión anterior		Revisión del 19:54 14 abr 2024
Línea 171:		Línea 171:
	<center><math>r\vec{u}_r=\vec{r}\qquad \Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{1}{3\varepsilon_0}\rho_0\vec{r}=\frac{Q\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0 b^3}</math></center>		<center><math>r\vec{u}_r=\vec{r}\qquad \Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{1}{3\varepsilon_0}\rho_0\vec{r}=\frac{Q\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0 b^3}</math></center>

	[[Archivo:Dependenciacampoesfera.png\|500px\|		[[Archivo:Dependenciacampoesfera.png\|500px\|center]]
	center]]

	Reuniendo las dos expresiones en su forma más usual		Reuniendo las dos expresiones en su forma más usual

Antonio: /* Un volumen esférico */

2024-04-14T17:54:07Z

Un volumen esférico

← Revisión anterior		Revisión del 19:54 14 abr 2024
Línea 171:		Línea 171:
	<center><math>r\vec{u}_r=\vec{r}\qquad \Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{1}{3\varepsilon_0}\rho_0\vec{r}=\frac{Q\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0 b^3}</math></center>		<center><math>r\vec{u}_r=\vec{r}\qquad \Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{1}{3\varepsilon_0}\rho_0\vec{r}=\frac{Q\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0 b^3}</math></center>

	[[Archivo:Dependenciacampoesfera.png\|center]]		[[Archivo:Dependenciacampoesfera.png\|500px\|
			center]]

	Reuniendo las dos expresiones en su forma más usual		Reuniendo las dos expresiones en su forma más usual

Antonio: /* Un volumen esférico */

2024-04-14T17:53:00Z

Un volumen esférico

← Revisión anterior		Revisión del 19:53 14 abr 2024
Línea 171:		Línea 171:
	<center><math>r\vec{u}_r=\vec{r}\qquad \Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{1}{3\varepsilon_0}\rho_0\vec{r}=\frac{Q\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0 b^3}</math></center>		<center><math>r\vec{u}_r=\vec{r}\qquad \Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{1}{3\varepsilon_0}\rho_0\vec{r}=\frac{Q\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0 b^3}</math></center>

	[[Archivo:Dependenciacampoesfera.~~gif~~\|~~right~~]]Reuniendo las dos expresiones en su forma más usual		[[Archivo:Dependenciacampoesfera.png\|center]]

			Reuniendo las dos expresiones en su forma más usual

	<center><math>\vec{E}=\begin{cases} \displaystyle \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\vec{r} & r < b \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > b \end{cases}=\begin{cases} \displaystyle \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0b^3}\vec{u}_r & r < b \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > b \end{cases}</math></center>		<center><math>\vec{E}=\begin{cases} \displaystyle \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\vec{r} & r < b \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > b \end{cases}=\begin{cases} \displaystyle \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0b^3}\vec{u}_r & r < b \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > b \end{cases}</math></center>

Antonio: /* Un volumen esférico */

2024-04-14T17:47:58Z

Un volumen esférico

Antonio: /* Otras dos superficies esféricas */

2024-04-14T17:39:48Z

Otras dos superficies esféricas

← Revisión anterior		Revisión del 19:39 14 abr 2024
Línea 134:		Línea 134:

	<center><math>Q_\mathrm{int}=Q_1+Q_2=-4\pi(b^2-a^2)\sigma_0\qquad (r > b)</math></center>		<center><math>Q_\mathrm{int}=Q_1+Q_2=-4\pi(b^2-a^2)\sigma_0\qquad (r > b)</math></center>
	<center><math>\vec{E}=\frac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r=-\frac{(b^2-a^2)\sigma_0}{\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r\qquad (a<r < b))</math></center>		<center><math>\vec{E}=\frac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r=-\frac{(b^2-a^2)\sigma_0}{\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r\qquad (r > b)</math></center>

	Reuniendo los tres resultados		Reuniendo los tres resultados

Antonio: /* Otras dos superficies esféricas */

2024-04-14T17:39:21Z

Otras dos superficies esféricas

← Revisión anterior		Revisión del 19:39 14 abr 2024
Línea 133:		Línea 133:
	;Región exterior: Una superficie por fuera de la esfera mayor contiene tanto a la carga de las dos esferas		;Región exterior: Una superficie por fuera de la esfera mayor contiene tanto a la carga de las dos esferas

	<center><math>Q_\mathrm{int}=Q_1+Q_2=-4\pi(b^2-a^2)\sigma_0\qquad (r > b)~~\qquad\Rightarrow\qquad~~ \vec{E}=\frac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r=-\frac{(b^2-a^2)\sigma_0}{\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r\qquad (a<r < b))</math></center>		<center><math>Q_\mathrm{int}=Q_1+Q_2=-4\pi(b^2-a^2)\sigma_0\qquad (r > b)</math></center>
			<center><math>\vec{E}=\frac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r=-\frac{(b^2-a^2)\sigma_0}{\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r\qquad (a<r < b))</math></center>

	Reuniendo los tres resultados		Reuniendo los tres resultados

← Revisión anterior		Revisión del 19:47 14 abr 2024
Línea 145:		Línea 145:
	Una esfera maciza cargada uniformemente posee una densidad volumétrica de carga igual a		Una esfera maciza cargada uniformemente posee una densidad volumétrica de carga igual a

	<center><math>\rho_0=\frac{Q}{4\pi R^3/3}=\frac{3Q}{4\pi R^3}</math></center>		<center><math>\rho_0=\frac{Q}{4\pi b^3/3}=\frac{3Q}{4\pi b^3}</math></center>

	En este caso, todas las superficies contienen algo de carga, que depende de qué radio tomemos. Tenemos dos casos,		En este caso, todas las superficies contienen algo de carga, que depende de qué radio tomemos. Tenemos dos casos,

	;Punto exterior:Si consideramos una superficie esférica de radio <math>r>R</math>, la carga contenida por ella es toda la de la esfera,		;Punto exterior:Si consideramos una superficie esférica de radio <math>r>b</math>, la carga contenida por ella es toda la de la esfera,

	<center><math>Q_\mathrm{int} = Q\qquad (r>R)</math></center>		<center><math>Q_\mathrm{int} = Q\qquad (r>b)</math></center>

	:por lo que		:por lo que

	<center><math>\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\vec{u}_r\qquad (r>R)</math></center>		<center><math>\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\vec{u}_r\qquad (r>b)</math></center>

	<center>[[Imagen:esferacargadavolumen01.gif]]{{qquad}}{{qquad}}[[Imagen:esferacargadavolumen02.gif]]</center>		<center>[[Imagen:esferacargadavolumen01.gif]]{{qquad}}{{qquad}}[[Imagen:esferacargadavolumen02.gif]]</center>
Línea 161:		Línea 161:
	;Punto interior: Si tomamos una superficie esférica concéntrica con la de la carga, pero interior a ella, la carga que encerramos depende del radio considerado, ya que solo abarcamos parte de la carga de la esfera		;Punto interior: Si tomamos una superficie esférica concéntrica con la de la carga, pero interior a ella, la carga que encerramos depende del radio considerado, ya que solo abarcamos parte de la carga de la esfera

	<center><math>Q_\mathrm{int}=\rho_0\left(\frac{4\pi}{3}r^3\right) = \frac{Qr^3}{R^3}\qquad (r < R)</math></center>		<center><math>Q_\mathrm{int}=\rho_0\left(\frac{4\pi}{3}r^3\right) = \frac{Qr^3}{b^3}\qquad (r < b)</math></center>

	:por lo que el campo en el interior de la esfera vale		:por lo que el campo en el interior de la esfera vale

	<center><math>4\pi r^2 E = \frac{1}{\varepsilon_0}\rho_0\left(\frac{4\pi}{3}r^3\right)\qquad\Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{1}{3\varepsilon_0}r\vec{u}_r \qquad (r < R)</math></center>		<center><math>4\pi r^2 E = \frac{1}{\varepsilon_0}\rho_0\left(\frac{4\pi}{3}r^3\right)\qquad\Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{1}{3\varepsilon_0}r\vec{u}_r \qquad (r < b)</math></center>

	:Vemos que el campo eléctrico en el interior de la esfera aumenta linealmente con la distancia, siendo nulo solo en su centro. Puede escribirse en función del vector de posición		:Vemos que el campo eléctrico en el interior de la esfera aumenta linealmente con la distancia, siendo nulo solo en su centro. Puede escribirse en función del vector de posición

	<center><math>r\vec{u}_r=\vec{r}\qquad \Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{1}{3\varepsilon_0}\rho_0\vec{r}=\frac{Q\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0 R^3}</math></center>		<center><math>r\vec{u}_r=\vec{r}\qquad \Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{1}{3\varepsilon_0}\rho_0\vec{r}=\frac{Q\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0 b^3}</math></center>

	[[Archivo:Dependenciacampoesfera.gif\|right]]Reuniendo las dos expresiones en su forma más usual		[[Archivo:Dependenciacampoesfera.gif\|right]]Reuniendo las dos expresiones en su forma más usual

	<center><math>\vec{E}=\begin{cases} \displaystyle \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\vec{r} & r < R \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > R \end{cases}=\begin{cases} \displaystyle \frac{Qr}{4\pi\~~varepsilon_0R~~^3}\vec{u}_r & r < R \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > R \end{cases}</math></center>		<center><math>\vec{E}=\begin{cases} \displaystyle \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\vec{r} & r < b \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > b \end{cases}=\begin{cases} \displaystyle \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0b^3}\vec{u}_r & r < b \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > b \end{cases}</math></center>

	Las dos pueden escribirse en términos de la carga total o de la densidad de carga sin más que sustituir la relación anterior		Las dos pueden escribirse en términos de la carga total o de la densidad de carga sin más que sustituir la relación anterior

	<center><math>\rho_0=\frac{Q}{4\pi R^3/3}=\frac{3Q}{4\pi R^3}</math></center>		<center><math>\rho_0=\frac{Q}{4\pi b^3/3}=\frac{3Q}{4\pi b^3}</math></center>

	==Una esfera no unidorme==		==Una esfera no unidorme==