Bola en canal circular - Historial de revisiones

Drake: /* Aceleración */

2024-01-14T11:33:10Z

Aceleración

← Revisión anterior		Revisión del 13:33 14 ene 2024
Línea 120:		Línea 120:
	sendas rotaciones sobre ejes permanentes a velocidad angular constante.		sendas rotaciones sobre ejes permanentes a velocidad angular constante.

	<center><math>\vec{\alpha}_{20}=\vec{0}</math>{{qquad}}<math>\vec{\alpha}_{01}=\vec{0}</math></center>		<center><math>\vec{\alpha}_{20}=\vec{0}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\alpha}_{01}=\vec{0}</math></center>

	Queda entonces		Queda entonces

Drake: /* Velocidad */

2024-01-14T11:31:50Z

Velocidad

← Revisión anterior		Revisión del 13:31 14 ene 2024
Línea 90:		Línea 90:
	& 0\end{matrix}\right\|\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=-75\,\vec{\jmath}_0\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>		& 0\end{matrix}\right\|\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=-75\,\vec{\jmath}_0\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>

	A este ~~misma~~ vector se puede llegar hallando la rapidez simplemente multiplicando el		A este mismo vector se puede llegar hallando la rapidez simplemente multiplicando el
	módulo de la velocidad angular por la distancia de B al EIR		módulo de la velocidad angular por la distancia de B al EIR

Drake: /* Velocidad */

2024-01-14T11:31:29Z

Velocidad

← Revisión anterior		Revisión del 13:31 14 ene 2024
Línea 93:		Línea 93:
	módulo de la velocidad angular por la distancia de B al EIR		módulo de la velocidad angular por la distancia de B al EIR

	<center><math>\omega_{20}=\sqrt{4^2+3^2}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=5\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>d_B = R = 15\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math> \omega_{20}d_B = 75\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>		<center><math>\omega_{20}=\sqrt{4^2+3^2}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=5\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>d_B = R = 15\,\mathrm{cm}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}<math> \omega_{20}d_B = 75\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

	y asignando la dirección y el sentido según la regla de la mano derecha.		y asignando la dirección y el sentido según la regla de la mano derecha.

Drake: /* Movimiento {21} */

2024-01-14T11:29:56Z

Movimiento {21}

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Línea 63:		Línea 63:
	con		con

	<center><math>\vec{v}^C_{21}=48\,\vec{\jmath}_0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\,\,;</math>{{qquad}}<math>\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\vec{\imath}_0\,\,;</math>{{qquad}}<math>\vec{O_1C}=(16\,\vec{\imath}_0+12\vec{k}_0)\,\mathrm{cm}</math></center>		<center><math>\vec{v}^C_{21}=48\,\vec{\jmath}_0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\vec{\imath}_0\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{O_1C}=(16\,\vec{\imath}_0+12\vec{k}_0)\,\mathrm{cm}</math></center>

	===Movimiento {20}===		===Movimiento {20}===

Drake: /* Movimiento {21} */

2024-01-14T11:28:36Z

Movimiento {21}

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Línea 50:		Línea 50:
	Tomando módulos		Tomando módulos

	<center><math>v_0=\|\omega_{21}\|d_2\qquad d_2 =\sqrt{R^2-((b-a)/2)^2}=		<center><math>v_0=\|\omega_{21}\|d_2\,\,;\qquad d_2 =\sqrt{R^2-((b-a)/2)^2}=
	12\,\mathrm{cm}</math>{{tose}}<math>\|\omega_{21}\|=\frac{v_0}{d_2}=4\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>		12\,\mathrm{cm}\,\,\,\,\,</math>{{tose}}<math>\,\,\,\,\,\|\omega_{21}\|=\frac{v_0}{d_2}=4\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

	El sentido de la velocidad angular lo da la regla de la mano derecha, según la cual		El sentido de la velocidad angular lo da la regla de la mano derecha, según la cual
Línea 63:		Línea 63:
	con		con

	<center><math>\vec{v}^C_{21}=48\,\vec{\jmath}_0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math>{{qquad}}<math>\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\vec{\imath}_0</math>{{qquad}}<math>\vec{O_1C}=(16\,\vec{\imath}_0+12\vec{k}_0)\,\mathrm{cm}</math></center>		<center><math>\vec{v}^C_{21}=48\,\vec{\jmath}_0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\,\,;</math>{{qquad}}<math>\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\vec{\imath}_0\,\,;</math>{{qquad}}<math>\vec{O_1C}=(16\,\vec{\imath}_0+12\vec{k}_0)\,\mathrm{cm}</math></center>

	===Movimiento {20}===		===Movimiento {20}===

Drake: /* Movimiento {01} */

2024-01-14T11:24:16Z

Movimiento {01}

← Revisión anterior		Revisión del 13:24 14 ene 2024
Línea 28:		Línea 28:
	y su distancia al eje <math>O_1Z_1</math>		y su distancia al eje <math>O_1Z_1</math>

	<center><math>v^C_{01} = \omega_{01} d \,\,;~~\qquad~~\qquad d = \frac{a+b}{2}\,\,\,\,\,</math>{{tose}}		<center><math>v^C_{01} = \omega_{01} d \,\,;\qquad d = \frac{a+b}{2}\,\,\,\,\,</math>{{tose}}
	<math>\,\,\,\,\,\omega_{01}=\frac{2v^C_{01}}{a+b} = 3\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>		<math>\,\,\,\,\,\omega_{01}=\frac{2v^C_{01}}{a+b} = 3\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

Drake: /* Movimiento {01} */

2024-01-14T11:23:54Z

Movimiento {01}

← Revisión anterior		Revisión del 13:23 14 ene 2024
Línea 28:		Línea 28:
	y su distancia al eje <math>O_1Z_1</math>		y su distancia al eje <math>O_1Z_1</math>

	<center><math>v^C_{01} = \omega_{01} d\qquad d = \frac{a+b}{2}</math>{{tose}}		<center><math>v^C_{01} = \omega_{01} d \,\,;\qquad\qquad d = \frac{a+b}{2}\,\,\,\,\,</math>{{tose}}
	<math>\omega_{01}=\frac{2v^C_{01}}{a+b} = 3\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>		<math>\,\,\,\,\,\omega_{01}=\frac{2v^C_{01}}{a+b} = 3\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

	La velocidad de deslizamiento en este movimiento es nula, por tratarse de una rotación		La velocidad de deslizamiento en este movimiento es nula, por tratarse de una rotación

Drake: Página creada con «==Enunciado== right Una bola (sólido “2”), de radio $R=15\,\mathrm{cm}$ , se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos (sólido “1”), de radios $a=7\,\mathrm{cm}$ y $b=25\,\mathrm{cm}$ , situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de esta esfera es tal que: * en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y * su centro C realiza un movim…»

2024-01-12T19:04:30Z

Página creada con «==Enunciado== right Una bola (sólido “2”), de radio <math>R=15\,\mathrm{cm}</math>, se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos (sólido “1”), de radios <math>a=7\,\mathrm{cm}</math> y <math>b=25\,\mathrm{cm}</math>, situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de esta esfera es tal que: * en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y * su centro C realiza un movim…»

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==Enunciado==
[[Archivo:bola-canal-dk.png|right]]

Una bola (sólido “2”), de radio <math>R=15\,\mathrm{cm}</math>, se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos (sólido “1”), de radios <math>a=7\,\mathrm{cm}</math> y <math>b=25\,\mathrm{cm}</math>, situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de esta esfera es tal que:
* en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y
* su centro C realiza un movimiento circular uniforme con celeridad <math>v_{0}=48\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}</math> y en sentido antihorario respecto al eje O<math>_1</math>Z<math>_1</math>.
Consideramos como sólido móvil intermedio (sólido <math>0</math>) al plano <math>O_1X_0Z_0</math> que contiene en todo instante al centro C de la esfera (ver figura).

# Halle los ejes instantáneos o permanentes de rotación de los movimientos {21}, {20} y {01}.
# Halle la reducción cinemática canónica de cada movimiento.
# Para el punto de la pelota en contacto con el carril de mayor radio (punto B), determine <math>\vec{v}_{20}^{B}</math> y <math>\vec{a}_{21}^B</math>.

==Ejes de rotación==
;Movimiento {21}: El eje del movimiento {21} es fácil de identificar. Puesto que los puntos A y B están en reposo instantáneo en este movimiento, la recta que pasa por ellos es un eje instantáneo de rotación (EIR). No es un eje permanente, pues la posición de los puntos A y B en el sistema de referencia “1” va cambiando en el tiempo.

;Movimiento {01}: Por ser coincidentes los ejes <math>O_1Z_0</math> y <math>O_1Z_1</math>, cualquier punto del eje <math>O_1Z_0</math>, perteneciente al sólido 0, se encuentra en reposo respecto al sólido 1, por lo que este es un eje de rotación. Puesto que el eje es fijo en el triedro 1, se trata de un eje permanente de rotación.

;Movimiento {20}: En este también podemos identificar dos puntos fijos. Uno es el origen común del sistema de ejes <math>O_1</math>. El otro es el centro de la esfera, C, que se encuentra situado siempre a la misma distancia de los ejes en el plano <math>O_1X_0Z_0</math>. Se trata de un eje permanente de rotación, ya que la recta que pasa por los puntos <math>O_1</math> y <math>C</math> ocupa una posición fija en el triedro 0.

==Reducciones de los movimientos==
===Movimiento {01}===
Según hemos dicho, el movimiento del sólido 0 es una rotación permanente alrededor del
eje <math>O_1Z_1</math>. La velocidad angular de este movimiento es de la forma

<center><math>\vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\vec{k}</math></center>

El módulo de esta velocidad angular lo obtenemos de que conocemos la rapidez del punto C
y su distancia al eje <math>O_1Z_1</math>

<center><math>v^C_{01} = \omega_{01} d\qquad d = \frac{a+b}{2}</math>{{tose}}
<math>\omega_{01}=\frac{2v^C_{01}}{a+b} = 3\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

La velocidad de deslizamiento en este movimiento es nula, por tratarse de una rotación
pura.

===Movimiento {21}===
[[Archivo:dimensiones-bola-canal-dk.png|right]]

El movimiento {21} es también una rotación pura, por lo que su velocidad de deslizamiento
es nula. La velocidad angular de este movimiento va en la dirección de la recta que pasa
por A y B, que es el eje <math>O_1X_0</math>. Por ello

<center><math>\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\vec{\imath}_0</math></center>

El valor de esta componente lo obtenemos también de que conocemos la velocidad de C en
este movimiento, ya que es igual a la anterior

<center><math>\vec{v}^C_{21}=\overbrace{\vec{v}^C_{20}}^{=\vec{0}}+\vec{v}^C_{01}=v_0\vec{\jmath}_0</math></center>

Tomando módulos

<center><math>v_0=|\omega_{21}|d_2\qquad d_2 =\sqrt{R^2-((b-a)/2)^2}=
12\,\mathrm{cm}</math>{{tose}}<math>|\omega_{21}|=\frac{v_0}{d_2}=4\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

El sentido de la velocidad angular lo da la regla de la mano derecha, según la cual

<center><math>\vec{\omega}_{21}=(-4\,\vec{\imath}_0)\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

Alternativamente, puede hallarse este vector a partir de la relación

<center><math>\vec{v}^C_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1C}</math></center>

con

<center><math>\vec{v}^C_{21}=48\,\vec{\jmath}_0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math>{{qquad}}<math>\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\vec{\imath}_0</math>{{qquad}}<math>\vec{O_1C}=(16\,\vec{\imath}_0+12\vec{k}_0)\,\mathrm{cm}</math></center>

===Movimiento {20}===
El movimiento relativo es también una rotación, por tener al menos un punto fijo (el
origen común). La velocidad de deslizamiento de este sólido es nula. La velocidad angular
la podemos obtener a partir de las que ya tenemos

<center><math>\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}
</math></center>

Sustituyendo los valores numéricos

<center><math>\vec{\omega}_{20}=(-4\,\vec{\imath}_0-3\,\vec{k}_0)\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}
</math></center>

Este vector apunta en la dirección de la recta que pasa por <math>O_1\,</math> y <math>C\,</math>, que identificamos
anteriormente como la del eje instantáneo de rotación.

==Velocidad y aceleración==
===Velocidad===
En el movimiento {20} el punto B experimenta una rotación instantánea en torno al eje que
pasa por <math>O_1\,</math> y <math>C\,</math>. Por ello, su velocidad es

<center><math>\vec{v}^B_{20} = \vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{O_1B}=
\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_0 & \vec{\jmath}_0 & \vec{k}_0 \\ -4 & 0 & -3 \\ 25 & 0
& 0\end{matrix}\right|\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=-75\,\vec{\jmath}_0\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>

A este misma vector se puede llegar hallando la rapidez simplemente multiplicando el
módulo de la velocidad angular por la distancia de B al EIR

<center><math>\omega_{20}=\sqrt{4^2+3^2}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=5\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>d_B = R = 15\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math> \omega_{20}d_B = 75\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

y asignando la dirección y el sentido según la regla de la mano derecha.

===Aceleración===
La aceleración del punto B en el movimiento absoluto {21} la podemos obtener aplicando la
expresión del campo de aceleraciones de un sólido

<center><math>\vec{a}^B_{21}=\vec{a}^{O_1}_{21}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{O_1B}+
\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1B})</math></center>

La aceleración <math>\vec{a}^{O_1}_{21}</math> es nula, por tratarse <math>O_1\,</math> de un punto fijo. También se
anula el último término, ya que por estar <math>O_1\,</math> y <math>B\,</math> en el EIR del movimiento {21}, el vector
de posición relativo es paralelo a la velocidad angular. La aceleración se reduce
entonces a

<center><math>\vec{a}^B_{21}=\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{O_1B}</math></center>

La aceleración angular del movimiento absoluto la calculamos como composición del
movimiento relativo y del de arrastre

<center><math>\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
</math></center>

La aceleraciones angulares relativa y de arrastre son las dos nulas, por tratarse de
sendas rotaciones sobre ejes permanentes a velocidad angular constante.

<center><math>\vec{\alpha}_{20}=\vec{0}</math>{{qquad}}<math>\vec{\alpha}_{01}=\vec{0}</math></center>

Queda entonces

<center><math>\vec{\alpha}_{21}=\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=
(\omega_{01}\vec{k}_0)\times(\omega_{21}\vec{\imath}_0-\omega_{01}\vec{k}_0)=
\omega_{01}\omega_{21}\vec{\jmath}_0</math></center>

Sustituyendo los valores numéricos

<center><math>\vec{\alpha}_{21}=-12\vec{\jmath}_0\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

y llevando esto a la ecuación de la aceleración del punto B

<center><math>\vec{a}^B_{21}=(-12\vec{\jmath}_0)\times(25\vec{\imath}_0)\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}=
300\vec{k}_0\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}
</math></center>

[[Categoría:Problemas de Movimiento Relativo (GITI)]]