Pedro: Página creada con «= Enunciado = right Una barra delgada de longitud $2\sqrt{2}b$ (sólido "0") está articulada en el punto fijo $O$ . En el otro extremo de la barra (punto $A$ ) se articula otra barra (sólido "2") de longitud $\sqrt{2}b$ . A su vez, el otro extremo de la barra 2 (punto $B$ ) se articula en un pasador obligado a moverse sobre una barra fija vertical. En todo instante la velocidad del pu…»

2023-09-26T14:48:56Z

Página creada con «= Enunciado = right Una barra delgada de longitud <math>2\sqrt{2}b</math> (sólido "0") está articulada en el punto fijo <math>O</math>. En el otro extremo de la barra (punto <math>A</math>) se articula otra barra (sólido "2") de longitud <math>\sqrt{2}b</math>. A su vez, el otro extremo de la barra 2 (punto <math>B</math>) se articula en un pasador obligado a moverse sobre una barra fija vertical. En todo instante la velocidad del pu…»

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= Enunciado =
[[File:MRGIC-2019-barras.png|right]]
Una barra delgada de longitud <math>2\sqrt{2}b</math> (sólido "0") está articulada en el punto
fijo <math>O</math>. En el otro extremo de la barra (punto <math>A</math>) se articula otra barra
(sólido "2") de longitud <math>\sqrt{2}b</math>. A su vez, el otro extremo de la barra 2 (punto
<math>B</math>) se articula en un pasador obligado a moverse sobre una barra fija
vertical. En todo instante la velocidad del punto <math>B</math> es <math>\vec{v}_0=
v_0\,\vec{\jmath}_1</math>, con <math>v_0>0</math> y constante. En el instante indicado en la
figura las dos barra son perpendiculares y forman un ángulo <math>\pi/4</math> con la
barra fija vertical. Todas las preguntas siguientes corresponden a este instante.

# Determina el vector de posición del punto <math>B</math> es
# Encuentra gráficamente y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}.
#Calcula los vectores rotación de los movimientos {21} y {01}.
#Calcula el vector aceleración del movimiento {21}.

= Solución =

== Vector de posición del punto B ==
Podemos construir el vector pedido como
<center>
<math>
\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}.
</math>
</center>
De la figura, y teniendo en cuenta que los ángulos son <math>\pi/4</math>
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{OA} = 2b\,\vec{\imath}_1 + 2b\,\vec{\jmath}_1,\\
\overrightarrow{AB} = -b\,\vec{\imath}_1 + b\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\overrightarrow{OB} = b\,\vec{\imath}_1 + 3b\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>

== Posiciones de los C.I.R.s ==
[[File: MRGIC-2019-barras-CIR.png|right]]
La figura de la derecha muestra la posición de los tres puntos pedidos.

El punto <math>O</math> de la barra "0" está siempre en el origen. Por tanto
<center>
<math>
\vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0} \Longrightarrow I_{01}\equiv O.
</math>
</center>
El punto <math>A</math> pertenece siempre a las dos barras a la vez. Entonces
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0} \Longrightarrow I_{20}\equiv O.
</math>
</center>
El Teorema de los Tres centros nos dice que <math>I_{21}</math>, <math>I_{20}</math> y <math>I_{01}</math> están en la misma recta. Por otro lado, el punto <math>B</math> de la barra "2" se mueve siempre sobre la barra vertical fija. Entonces <math>\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}_0</math> es siempre vertical. El punto <math>I_{21}</math> debe estar en la recta perpendicular a <math>\vec{v}_0</math> trazada por <math>B</math>. El corte de estas dos rectas nos da la posición de <math>I_{21}</math>,
<center>
<math>
\overrightarrow{OI}_{21} = 3b\,\vec{\imath}_1 + 3b\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>

== Vectores rotación ==
Al ser movimientos planos tenemos
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{k}_1,\qquad
\vec{\omega}_{20} = \omega_{20}\,\vec{k}_1,\qquad
\vec{\omega}_{01} = \omega_{01}\,\vec{k}_1.
</math>
</center>

=== Movimiento {21} ===
Tenemos la velocidad absoluta de dos puntos, el <math>B</math> y el <math>I_{21}</math>. Usando el Teorema de Chasles tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,I_{21}}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{I_{21}B}
=
(\omega_{21}\,\vec{k}_1)\times(-2b\,\vec{\imath}_1) = -2b\omega_{21}\,\vec{\jmath}_1 = v_0\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = -\dfrac{v_0}{2b}\,\vec{k}_1.
</math>
</center>

=== Movimiento {01} ===
Podemos determinar <math>\vec{v}^{\,A}_{01}</math> partiendo del punto <math>O</math>
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}
=
(\omega_{01}\,\vec{k}_1)\times(2b\,\vec{\imath}_1 + 2b\,\vec{\jmath}_1) =
-2b\omega_{01}\,\vec{\imath}_1 + 2b\omega_{01}\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Por otro lado, a partir de la composición {21} = {20} + {01} tenemos, teniendo en cuenta que <math>\vec{v}^{\,A}_{20}=\vec{0}</math>,
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{20} + \vec{v}^{\,A}_{01}
\Longrightarrow
\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,A}_{21} =
\vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BA}
=
-\dfrac{v_0}{2}\,\vec{\imath}_1
+\dfrac{v_0}{2}\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Las dos expresiones de <math>\vec{v}^{\,A}_{01}</math> deben ser iguales. Por tanto
<center>
<math>
\vec{\omega}_{01} = \dfrac{v_0}{4b}\,\vec{k}_1.
</math>
</center>

=== Movimiento {20} ===
Por un lado tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0}.
</math>
</center>
Por otro lado, usando la composición {21} = {20} + {01}
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}
\Longrightarrow
\vec{\omega}_{20} =\vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01}
=
-\dfrac{3v_0}{4b}\,\vec{k}_1.
</math>
</center>

== Aceleraciones angulares==
De nuevo, al ser un movimiento plano tenemos
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = \alpha_{21}\,\vec{k}_1, \qquad
\vec{\alpha}_{20} = \alpha_{20}\,\vec{k}_1, \qquad
\vec{\alpha}_{01} = \alpha_{01}\,\vec{k}_1.
</math>
</center>
Conocemos tres aceleraciones en el problema
<center>
<math>
\vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,A}_{20} = \vec{0}.
</math>
</center>
El primer valor se debe a que el enunciado nos dice que <math>\vec{v}_0</math> es constante. Los otros se deducen de que esos puntos son los C.I.R.s de los movimientos respectivos.

Ahora calculamos <math>\vec{a}^{\,A}_{21}</math> de dos maneras diferentes, usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} a partir de <math>B</math> y con el Teorema de Coriolis.

A partir de <math>B</math> tenemos
<center>
<math>
\vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BA} - |\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{BA}
=
\left(b\alpha_{21} - \dfrac{v_0^2}{4b}\right)\,\vec{\imath}_1
+
\left(b\alpha_{21} + \dfrac{v_0^2}{4b}\right)\,\vec{\jmath}_1
</math>
</center>
Usando el Teorema de Coriolis en <math>A</math>
<center>
<math>
\vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{a}^{\,A}_{20} + \vec{a}^{\,A}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{a}^{\,A}_{01}
</math>
</center>
Ahora utilizamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01} partiendo de <math>O</math>
<center>
<math>
\vec{a}^{\,A}_{01} = \vec{a}^{\,O}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OA} - |\vec{\omega}_{01}|^2\overrightarrow{OA}
=
\left(-2b\alpha_{01} - \dfrac{v_0^2}{8b}\right)\,\vec{\imath}_1
+
\left(2b\alpha_{01} - \dfrac{v_0^2}{8b}\right)\,\vec{\jmath}_1
</math>
</center>
De nuevo, las dos expresiones para <math>\vec{a}^{\,A}_{21}</math> deben ser iguales. Obtenemos así dos ecuaciones
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\alpha_{21} + 2\alpha_{01} = v_0^2/8b^2,\\
\alpha_{21} - 2\alpha_{01} = -3v_0^2/8b^2.
\end{array}
</math>
</center>
Resolviendo obtenemos
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = -\dfrac{v_0^2}{8b^2}\,\vec{k}_1, \qquad \vec{\alpha}_{01} = \dfrac{v_0^2}{8b^2}.
</math>
</center>
Usamos de nuevo la composición {21} = {20} + {01}
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
\Longrightarrow
\vec{\alpha}_{20} = \vec{\alpha}_{21} - \vec{\alpha}_{01}
=
-\dfrac{v_0^2}{4b^2}\,\vec{k}_1.
</math>
</center>
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