Pedro: Página creada con «== Enunciado == right La barra $OA$ tiene longitud $L$ y esta articulada en el punto $O$ . La barra $AC$ está articulada en $A$ y tiene longitud $2L$ . Además tiene un pasador en su punto medio $B$ , de modo que esté punto está siempre sobre el eje $OX$ . La barra $OA$ gira de modo que el ángulo $\theta(t)$ es…»

2023-11-03T08:35:04Z

Página creada con «== Enunciado == right La barra <math>OA</math> tiene longitud <math>L</math> y esta articulada en el punto <math>O</math>. La barra <math>AC</math> está articulada en <math>A</math> y tiene longitud <math>2L</math>. Además tiene un pasador en su punto medio <math>B</math>, de modo que esté punto está siempre sobre el eje <math>OX</math>. La barra <math>OA</math> gira de modo que el ángulo <math>\theta(t)</math> es…»

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== Enunciado ==
[[Imagen:F1GIC_barras_articuladas_enunciado.png|right]]
La barra <math>OA</math> tiene longitud <math>L</math> y esta articulada en el punto <math>O</math>. La barra <math>AC</math> está articulada en <math>A</math> y tiene longitud <math>2L</math>. Además tiene un pasador en su punto medio <math>B</math>, de modo que esté punto está siempre sobre el eje <math>OX</math>. La barra <math>OA</math> gira de modo que el ángulo <math>\theta(t)</math> es una función del tiempo.
#Determina los vectores de posición de los puntos <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>
#Si el punto <math>B</math> se mueve con velocidad uniforme <math>\vec{v}_B=v_0\,\vec{\imath}</math>, determina la función <math>\theta(t)</math> si <math>\theta(0)=\pi/2</math>.
#Supón ahora que el ángulo varía como <math>\theta(t) = \omega_0t</math>, con <math>\omega_0</math> constante. En estas condiciones, calcula la velocidad y aceleración del punto <math>C</math>, así como su aceleración tangencial.

== Solución ==

=== Vectores de posición ===
[[Imagen:F1GIC_barras_articuladas_angulos.png|right]]
Observando la figura tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{OA} = L\cos\theta\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
\\ \\
\overrightarrow{OB} = 2L\cos\theta\,\vec{\imath}
\\ \\
\overrightarrow{BC} = L\cos\theta\,\vec{\imath} - L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
\\ \\
\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC}
= 3L\cos\theta\,\vec{\imath} - L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
\end{array}
</math>
</center>

=== El punto <math>B </math> se mueve con velocidad uniforme ===
La velocidad del punto <math>B </math> es
<center>
<math>
\vec{v}_B = \dot{\overrightarrow{OB}} = -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}
</math>
</center>
Según el enunciado tenemos
<center>
<math>
-2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta = v_0
</math>
</center>
Esto es una ecuación diferencial para <math>\theta(t) </math> que podemos resolver fácilmente, pues es de variables separables. Podemos escribir la expresión como
<center>
<math>
-2L\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{sen}\,\theta = v_0
\Longrightarrow
\mathrm{sen}\,\theta\mathrm{d}\theta = -\dfrac{v_0}{2L}\,\mathrm{d}t
</math>
</center>
Integramos, imponiendo la condición inicial en los límites de intagración
<center>
<math>
\int\limits_{\pi/2}^{\theta(t)}\mathrm{sen}\,\theta\mathrm{d}\theta = -\int\limits_0^t\dfrac{v_0}{2L}\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\cos\theta(t) = \dfrac{v_0}{2L}\,t
</math>
</center>
Por tanto el ángulo como función del tiempo es
<center>
<math>
\theta(t) = \arccos\left(\dfrac{v_0}{2L}\,t\right)
</math>
</center>

=== Movimiento con ángulo dado ===
Suponemos ahora que el ángulo varía en el tiempo como
<center>
<math>
\theta(t) = \omega_0t
</math>
</center>
con <math>\omega_0 </math> constante. Para calcular la velocidad del punto <math>C </math> volvemos al vector de posición obtenido en el primer apartado y lo derivamos en el tiempo
<center>
<math>
\vec{v}_C = \dot{\overrightarrow{OC}}
=
-3L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} - L\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}
=
-L\omega_0(3\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + \cos\theta\,\vec{\jmath})
</math>
</center>
Aquí hemos usado que, con la ley dada, <math>\dot{\theta}=\omega_0 </math>.
Para calcular la aceleración derivamos otra vez
<center>
<math>
\vec{a}_C = \dot{\vec{v}}_C
=
-L\omega_0^2(3\cos\theta\,\vec{\imath} - \,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath})
</math>
</center>
La forma más rápida de calcular la aceleración tangencial es derivando el módulo de la velocidad, pues se cumple
<center>
<math>
a_T = \dfrac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}
</math>
</center>
Para el punto <math>C </math>
<center>
<math>
|\vec{v}_C| = L\omega_0\,\sqrt{1+8\,\mathrm{sen}^2\,\theta}
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
a_{CT} =
L\omega_0\dfrac{8\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta}{\sqrt{1+8\,\mathrm{sen}^2\,\theta}}
=
8L\omega_0^2\dfrac{\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta}{\sqrt{1+8\,\mathrm{sen}^2\,\theta}}
</math>
</center>
con <math>\theta=\omega_0t </math>. Otra forma de hacer el mismo cálculo es
<center>
<math>
a_{CT} = \dfrac{\vec{a}_C\cdot\vec{v}_C}{|\vec{v}_C|}
</math>
</center>
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