Barra rotando con muelle horizontal (MRGIC) - Historial de revisiones

Pedro: /* Enunciado */

2023-11-30T14:36:38Z

Enunciado

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	= Enunciado =		= Enunciado =
	~~== [[Barra rotando con muelle horizontal (MRGIC) \| Barra rotando con muelle horizontal]]==~~
	[[Archivo:Barra muelle articulada.png\|sinmarco\|derecha]]		[[Archivo:Barra muelle articulada.png\|sinmarco\|derecha]]
	El mecanismo de la figura está formado por una varilla delgada <math>OA</math> (sólido "2"), de masa <math>m</math> y longitud <math>L</math>, y un resorte ideal de constante recuperadora <math>k</math> y longitud natural nula. El extremo <math>O</math> de la varilla está unido mediante una rótula ideal al origen de un sistema de referencia fijo <math>OX_1Y_1Z_1</math> (sólido "1"). El otro extremo <math>A</math> de la varilla está conectado mediante el resorte a un pasador <math>C</math> de masa despreciable que puede deslizar libremente y sin rozamiento por el eje vertical <math>OZ_1</math>. En todo momento la orientación del eje del resorte es perpendicular a <math>OZ_1</math>. Se aplica un par motor externo <math>\vec{\tau}=\tau\,\vec{k}_0</math> al sólido "2" que le obliga a rotar con velocidad angular <math>\dot{\phi}=\omega_0</math> constante.		El mecanismo de la figura está formado por una varilla delgada <math>OA</math> (sólido "2"), de masa <math>m</math> y longitud <math>L</math>, y un resorte ideal de constante recuperadora <math>k</math> y longitud natural nula. El extremo <math>O</math> de la varilla está unido mediante una rótula ideal al origen de un sistema de referencia fijo <math>OX_1Y_1Z_1</math> (sólido "1"). El otro extremo <math>A</math> de la varilla está conectado mediante el resorte a un pasador <math>C</math> de masa despreciable que puede deslizar libremente y sin rozamiento por el eje vertical <math>OZ_1</math>. En todo momento la orientación del eje del resorte es perpendicular a <math>OZ_1</math>. Se aplica un par motor externo <math>\vec{\tau}=\tau\,\vec{k}_0</math> al sólido "2" que le obliga a rotar con velocidad angular <math>\dot{\phi}=\omega_0</math> constante.

Pedro: /* Valor del par motor */

2023-11-30T12:03:00Z

Valor del par motor

← Revisión anterior		Revisión del 14:03 30 nov 2023
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	</math>		</math>
	</center>		</center>
			[[Categoría:Problemas de mecánica analítica]]
			[[Categoría:Problemas de Dinámica Analítica]]

Pedro: /* Valor del par motor */

2023-11-30T12:01:48Z

Valor del par motor

← Revisión anterior		Revisión del 14:01 30 nov 2023
Línea 156:		Línea 156:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	\tau_0 = I\omega_0\,\mathrm{sen}\,(2\theta).		\tau_0 = I\omega_0\,\dot{\theta}\mathrm{sen}\,(2\theta).
	</math>		</math>
	</center>		</center>

Pedro: /* Valor del par motor */

2023-11-30T12:00:11Z

Valor del par motor

← Revisión anterior		Revisión del 14:00 30 nov 2023
Línea 150:		Línea 150:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	I\ddot{\theta} = \dfrac{1}{2}I\,\mathrm{sen}\,(2\theta) + \dfrac{1}{2}mgL\,\mathrm{sen}\,\theta -\dfrac{1}{2}kL^2\mathrm{sen}\,(2\theta).		I\ddot{\theta} = \dfrac{1}{2}I\omega_0^2\,\mathrm{sen}\,(2\theta) + \dfrac{1}{2}mgL\,\mathrm{sen}\,\theta -\dfrac{1}{2}kL^2\mathrm{sen}\,(2\theta).
	</math>		</math>
	</center>		</center>

Pedro en 11:52 30 nov 2023

2023-11-30T11:52:06Z

@@ Línea 31: / Línea 31: @@
 </math>
 </center>
 Aplicando el vínculo, la energía cinética es
 <center>
@@ Línea 53: / Línea 55: @@
 L = T - (U_g + U_m) = \dfrac{1}{2}I\,(\omega_0^2\,\mathrm{sen}^2\theta + \dot{\theta}^2) - \dfrac{1}{2}mgL\cos\theta
 - \dfrac{1}{2}kL^2\,\mathrm{sen}^2\theta.
 </math>
 </center>

Pedro: Página creada con «= Enunciado = == Barra rotando con muelle horizontal== derecha El mecanismo de la figura está formado por una varilla delgada $OA$ (sólido "2"), de masa $m$ y longitud $L$ , y un resorte ideal de constante recuperadora $k$ y longitud natural nula. El extremo $O$ de la varilla está unido mediante una rótula ideal a…»

2023-11-30T10:00:19Z

Página creada con «= Enunciado = == Barra rotando con muelle horizontal== sinmarco|derecha El mecanismo de la figura está formado por una varilla delgada <math>OA</math> (sólido "2"), de masa <math>m</math> y longitud <math>L</math>, y un resorte ideal de constante recuperadora <math>k</math> y longitud natural nula. El extremo <math>O</math> de la varilla está unido mediante una rótula ideal a…»

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= Enunciado =
== [[Barra rotando con muelle horizontal (MRGIC) | Barra rotando con muelle horizontal]]==
[[Archivo:Barra muelle articulada.png|sinmarco|derecha]]
El mecanismo de la figura está formado por una varilla delgada <math>OA</math> (sólido "2"), de masa <math>m</math> y longitud <math>L</math>, y un resorte ideal de constante recuperadora <math>k</math> y longitud natural nula. El extremo <math>O</math> de la varilla está unido mediante una rótula ideal al origen de un sistema de referencia fijo <math>OX_1Y_1Z_1</math> (sólido "1"). El otro extremo <math>A</math> de la varilla está conectado mediante el resorte a un pasador <math>C</math> de masa despreciable que puede deslizar libremente y sin rozamiento por el eje vertical <math>OZ_1</math>. En todo momento la orientación del eje del resorte es perpendicular a <math>OZ_1</math>. Se aplica un par motor externo <math>\vec{\tau}=\tau\,\vec{k}_0</math> al sólido "2" que le obliga a rotar con velocidad angular <math>\dot{\phi}=\omega_0</math> constante.
# Obtén el valor de una integral primera del movimiento.
# Obtén el valor del par motor necesario para que se verifique el vínculo.

= Solución =

== Integral primera en el movimiento descrito ==

Reutilizando los cálculos que hicimos en [[Barra articulada rotando en el espacio(MR G.I.C.)|barra articulada rotando en el espacio]], la reducción cinemática del movimiento absoluto de la barra es
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0 + \dot{\phi}\,\vec{k}_0,
\qquad
\vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{0}.
</math>
</center>
Su energía cinética es
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{2}I\,(\dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}^2\theta + \dot{\theta}^2). \qquad (I = mL^2/3)
</math>
</center>

El problema libre tiene dos grados de libertad <math> \{\phi, \theta \} </math>. Sin embargo, en este caso la rotación asociada a <math>\phi </math> está fijada por el vínculo cinemático
<center>
<math>
\dot{\phi} = \omega_0.
</math>
</center>
Aplicando el vínculo, la energía cinética es
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{2}I\,(\omega_0^2\,\mathrm{sen}^2\theta + \dot{\theta}^2).
</math>
</center>
En este caso hay dos interacciones conservativas actuando sobre el muelle: la gravedad y el muelle. Podemos asociar una energía potencial a cada una de ellas. Tomando como referencia de altura para la energía potencial gravitatoria la del plano fijo <math>OX_1Y_1 </math> tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
U_g = - m\vec{g}\cdot\overrightarrow{OG} = \dfrac{1}{2}mgL\cos\theta, \\
U_m = \dfrac{1}{2}k |\overrightarrow{CA}|^2 = \dfrac{1}{2}kL^2\,\mathrm{sen}^2\theta.
\end{array}
</math>
</center>
Hemos usado que el muelle tiene longitud natural nula.

La función de Lagrange es
<center>
<math>
L = T - (U_g + U_m) = \dfrac{1}{2}I\,(\omega_0^2\,\mathrm{sen}^2\theta + \dot{\theta}^2) - \dfrac{1}{2}mgL\cos\theta
- \dfrac{1}{2}kL^2\,\mathrm{sen}^2\theta.
</math>
</center>