Pedro: Página creada con «== Enunciado == right El sistema de la figura consta de un disco (sólido "0"), de centro $O$ y radio $R$ , que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal $O_1X_1$ del triedro fijo $O_1X_1Y_1$ (sólido "1"); y de una barra de longitud indefinida (sólido "2"), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante $v_0$ , manteniéndose siempre en contacto tangente…»

2023-09-26T14:26:19Z

Página creada con «== Enunciado == right El sistema de la figura consta de un disco (sólido "0"), de centro <math>O</math> y radio <math>R</math>, que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal <math>O_1X_1</math> del triedro fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido "1"); y de una barra de longitud indefinida (sólido "2"), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante <math>v_0</math>, manteniéndose siempre en contacto tangente…»

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== Enunciado ==
[[Imagen:F1_GIA_barra_horizontal_enunciado.png |right]]
El sistema de la figura consta de un disco (sólido "0"), de centro <math>O</math> y radio <math>R</math>, que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal <math>O_1X_1</math> del triedro fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido "1"); y de una barra de longitud indefinida (sólido "2"), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante <math>v_0</math>, manteniéndose siempre en contacto tangente con el perímetro del disco (punto <math>A</math>) y sin deslizar sobre éste. Halla:
# Las reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {01} y {20} en el centro del disco (punto <math>O</math>), es decir: <math>{\vec{\omega}_{21};\vec{v}_{21}^O}</math>, <math>{\vec{\omega}_{01};\vec{v}_{01}^O}</math> y <math>{\vec{\omega}_{20};\vec{v}_{20}^O}</math>.
# La aceleración relativa barra-disco del punto de contacto <math>A</math>, es decir, <math>\vec{a}_{20}^A</math>.

== Solución ==
Analicemos cada uno de los movimientos.

====Movimiento {21} ====
Esta es una traslación pura, con velocidad uniforme
<math>\vec{v}_{21}=v_0\,\vec{\imath}_1</math>. La reducción en cualquier punto es
<center><math>
\vec{\omega}_{21}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{v}_{21}=v_0\,\vec{\imath}_1
</math></center>
En particular
<center><math>
\vec{v}_{21}^O=\vec{v}_{21}^A=\vec{v}_{21}^C=v_0\,\vec{\imath}_1
</math></center>

====Movimiento {01} ====
El disco rueda sin deslizar sobre el eje <math>O_1X_1</math>. Por tanto el punto
de contacto <math>C</math> es el CIR, y la reducción en él es
<center><math>
\vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{01}^C=\vec{0}
</math></center>
Necesitaremos también las velocidades en <math>O</math> y <math>A</math>. Usando la ecuación
del campo de velocidades
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}_{01}^O=\vec{v}_{01}^C+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CO}=(\omega_{01}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath}_1)
= -R\,\omega_{01}\,\vec{\imath}_1\\ \\
\vec{v}_{01}^A=\vec{v}_{01}^C+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CA}=(\omega_{01}\,\vec{k})\times(2R\,\vec{\jmath}_1)
= -2R\,\omega_{01}\,\vec{\imath}_1
\end{array}
</math></center>

====Movimiento {20} ====
Como la barra no desliza sobre el disco, la velocidad relativa del
punto de contacto es nula, por lo que <math>A</math> es el CIR del movimiento. La
reducción en <math>A</math> es
<center><math>
\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{20}^A=\vec{0}
</math></center>
La velocidad en <math>O</math> sería
<center><math>
\vec{v}_{20}^O = \vec{v}_{20}^A+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AO}=(\omega_{20}\,\vec{k})\times(-R\,\vec{\jmath}_1)=R\,\omega_{20}\,\vec{\imath}_1
</math></center>

Aplicamos la composición de movimientos de velocidades en <math>A</math> para obtener el valor
de <math>\omega_{01}</math>
<center><math>
\vec{v}_{21}^A=\vec{v}_{20}^A+\vec{v}_{01}^A\Rightarrow
v_0\,\vec{\imath}_1=-2R\,\omega_{01}\,\vec{\imath}_1\Rightarrow \vec{\omega}_{01}=-\dfrac{v_0}{2R}\,\vec{k}
</math></center>
Y ahora la composición de velocidades angulares para obtener <math>\omega_{20}</math>
<center><math>
\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\Rightarrow\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=\dfrac{v_0}{2R}\,\vec{k}
</math></center>
Y ahora ya podemos calcular las reducciones pedidas
<center><math>
\begin{array}{lclcl}
\{21\}&\longrightarrow&\vec{\omega}_{21}=\vec{0}&\qquad\qquad&\vec{v}_{21}^O=v_0\,\vec{\imath}_1\\
&&&&\\
\{20\}&\longrightarrow&\vec{\omega}_{20}=\dfrac{v_0}{2R}\,\vec{k}&\qquad\qquad&\vec{v}_{20}^O=\dfrac{v_0}{2}\,\vec{\imath}_1\\
&&&&\\
\{01\}&\longrightarrow&\vec{\omega}_{01}=-\dfrac{v_0}{2R}\,\vec{k}&\qquad\qquad&\vec{v}_{01}^O=\dfrac{v_0}{2}\,\vec{\imath}_1
\end{array}
</math></center>

===Aceleración a<sup>A</sup><sub>20</sub> ===
Debido a que el movimiento {21} de la barra tiene velocidad
constante, tenemos
<center><math>
\vec{a}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}
</math></center>
No particularizamos en un punto pues al ser una traslación es igual
para todos. Por otro lado, el movimiento {01} del punto <math>O</math> del
sólido "0" también es de velocidad constante. Y también es constante
en el tiempo <math>\vec{\omega}_{01}</math>. Por tanto
<center><math>
\vec{\alpha}_{01}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{a}_{01}^O=\vec{0}
</math></center>
Usando la ley de composición de aceleraciones
<center><math>
\vec{a}_{21}^A =
\vec{a}_{20}^A+\vec{a}_{01}^A+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^A\Rightarrow
\vec{a}_{20}^A = \vec{a}_{21}^A-\vec{a}_{01}^A-2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^A
</math></center>
Calculamos <math>\vec{a}_{01}^A</math> usando la ecuación del campo de aceleraciones
del movimiento {01}
<center><math>
\vec{a}_{01}^A = \vec{a}_{01}^O+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OA}-|\vec{\omega}_{01}|^2\overrightarrow{OA}=-\dfrac{v_0^2}{4R}\,\vec{\jmath}_1
</math></center>
El resultado final es
<center><math>
\vec{a}_{20}^A=\dfrac{v_0^2}{4R}\,\vec{\jmath}_1
</math></center>

[[Categoría: Problemas de movimiento plano]]

Barra horizontal sobre un disco (G.I.A.) - Historial de revisiones