Pedro: Página creada con «==Enunciado== right Una barra rígida $AB$ de longitud $\ a\$ se mueve en un plano vertical $OXY$ , manteniendo su extremo $A$ articulado en un punto del eje horizontal de coordenadas $\overrightarrow{OA}= a \vec{\imath}$ , y verificando la ley horaria $\theta (t) = 2 \omega t$ , con $0 \leq \theta \leq \pi$ y siendo $\omega=$ cte. Un hilo inextensible d…»

2023-09-27T11:02:45Z

Página creada con «==Enunciado== right Una barra rígida <math>AB</math> de longitud <math>\ a\ </math> se mueve en un plano vertical <math>OXY</math>, manteniendo su extremo <math>A</math> articulado en un punto del eje horizontal de coordenadas <math>\overrightarrow{OA}= a \vec{\imath}</math>, y verificando la ley horaria <math>\theta (t) = 2 \omega t</math>, con <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> y siendo <math>\omega=</math>cte. Un hilo inextensible d…»

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==Enunciado==
[[Imagen:F1_GIA_p04_05_a.png|right]]
Una barra rígida <math>AB</math> de longitud <math>\ a\ </math> se mueve en un plano
vertical <math>OXY</math>, manteniendo su extremo <math>A</math> articulado en un punto
del eje horizontal de coordenadas <math>\overrightarrow{OA}= a \vec{\imath}</math>, y
verificando la ley horaria <math>\theta (t) = 2 \omega t</math>, con <math>0 \leq
\theta \leq \pi</math> y siendo <math>\omega=</math>cte. Un hilo inextensible de
longitud <math>2a</math> tiene uno de sus extremos conectado al origen del
sistema de referencia (punto <math>O</math>), mientras que del otro cuelga
una partícula <math>P</math> que mantiene al hilo siempre tenso. El hilo se
apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el
extremo <math>B</math> de la barra, de forma que el tramo <math>\overline{BP}</math>
permanece siempre paralelo al eje <math>OY</math> (ver figura). Se pide:
#Ecuaciones horarias del punto <math>P: \ \overrightarrow{OP} = \mathbf{r} (t) =x(t) \vec{\imath} + y(t) \vec{\jmath}</math>.
#Instante del tiempo <math>t_M</math> en que la partícula alcanza su altura máxima.
#Radio de curvatura de la trayectoria seguida por <math>P</math>, en el instante considerado en el apartado anterior.

== Solución ==
===Ecuaciones horarias del punto <math>\boldsymbol{P}</math>===

Podemos construir el vector <math>\overrightarrow{OP}</math> como
<center><math>
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP}.
</math></center>
Veamos como calcular cada uno de los vectores

El vector <math>\overrightarrow{OA}</math> es simplemente el vector de posición del punto
<math>A</math>
<center><math>
\overrightarrow{OA} = [a,0,0]
</math></center>
Calculamos las componentes de <math>\overrightarrow{AB}</math> proyectando sobre los ejes a
través del ángulo <math>\theta</math>
<center><math>
\overrightarrow{AB} = [a\cos\theta,a\,\mathrm{sen}\,\theta,0]
</math></center>
Por último el vector <math>\overrightarrow{BP}</math> es
<center><math>
\overrightarrow{BP} = -|\overrightarrow{BP}|\,\vec{\jmath} = [0,-|\overrightarrow{BP}|,0] </math></center>
Sabiendo que la longitud total del hilo es <math>2a</math>, del dibujo vemos que
<center><math> |\overrightarrow{BP}| = 2a - |\overrightarrow{OB}|. </math></center>
Tenemos <math>\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=(a(1+\cos\theta),a\,\mathrm{sen}\,\theta,0)</math>, luego
su módulo es
<center><math>
|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2+a^2\,\mathrm{sen}\,^2\theta} =
a\sqrt{2(1+\cos\theta)} = 2a\cos(\theta/2)
</math></center>
donde hemos usado <math>\cos(\theta/2) = \sqrt{(1+\cos\theta)/2}</math>. Entonces
[[Imagen:F1_GIA_p04_05_b.png|right]]
<center><math>
\overrightarrow{BP} = [0,-2a(1-\cos(\theta/2)),0]
</math></center>
A partir de la expresión de <math>\overrightarrow{OP} </math> obtenemos
<center><math>
\overrightarrow{OP} = [ a(1+\cos\theta),a(\,\mathrm{sen}\,\theta-2 +2\cos(\theta/2)),0]
</math></center>
Sustituyendo la ley horaria <math>\theta(t)=2wt</math> obtenemos
<center><math>
\overrightarrow{OP}(t) = [ a(1+\cos(2wt)),a(\,\mathrm{sen}\,(2wt)-2+2\cos(wt)),0]
</math></center>
El dibujo indica la trayectoria seguida por el punto <math>P</math> y el extremo
de la barra <math>B</math>

===Instante en que alcanza la altura máxima===

La partícula alcanza su altura máxima cuando la componente <math>Y</math> de la
velocidad se anula. La velocidad de la partícula es
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}_P = \dot{\overrightarrow{OP}} =&
[-2aw\,\mathrm{sen}\,(2wt),2aw(\cos(2wt)-\,\mathrm{sen}\,(wt)),0] =\\
& [-2aw\,\mathrm{sen}\,(\theta),2aw(\cos(\theta)-\,\mathrm{sen}\,(\theta/2)),0]
\end{array}
</math>
</center>
Para que la velocidad <math>v_y</math> sea nula debe ocurrir que
<center><math>
\cos(\theta) = \,\mathrm{sen}\,(\theta/2)
</math></center>
Teniendo en cuenta que <math>\,\mathrm{sen}\,(\theta/2) = \sqrt{(1-\cos\theta)/2}</math>,
elevando al cuadrado llegamos a la ecuación
<center><math>
2\cos^2\theta + \cos\theta -1 = 0
</math></center>
Esta ecuación tiene dos soluciones
<center><math>
\cos\theta = \left\{
\begin{array}{l}
1/2 \\ -1
\end{array}
\right.
\to
\theta = \left\{
\begin{array}{l}
\pi/3 \\ \pi
\end{array}
\right.
</math></center>
El punto de altura máxima corresponde al primer valor. Así pues el
ángulo para el que la altura es máxima, y el tiempo correspondiente
son
<center>
<math>
\begin{array}{ccc}
\theta_{M} = \pi/3&\,\,\,\,&t_M = \pi/6w
\end{array}
</math>
</center>

===Radio de curvatura en el punto más alto===

Necesitamos la aceleración en el instante <math>t_M</math>. La aceleración en
cualquier instante es
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{a}_P = \dot{\vec{v}}_P =&
[-4aw^2\cos(2wt),-2aw^2(-2\,\mathrm{sen}\,(2wt)+\cos(wt)),0] =\\
&[-4aw^2\cos(\theta),-2aw^2(2\,\mathrm{sen}\,(\theta)+\cos(\theta/2)),0]
\end{array}
</math>
</center>

En el instante <math>t_M</math> la velocidad y la aceleración son
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}_P(t_M) = [-\sqrt{3}aw,0,0]\\
\vec{a}_P(t_M) = [-2aw^2,-3\sqrt{3}a w^2,0]
\end{array}
</math></center>
La componente normal de la aceleración es
<center><math>
a_N = \left|\dfrac{|\,\vec{v}\times\vec{a}\,|}{v}\right| = 3\sqrt{3}aw^2.
</math></center>
Y el radio de curvatura es
<center><math>
R_{\kappa} = \dfrac{v^2}{a_N} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}
</math></center>

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