Pedro: Página creada con «== Enunciado == 350px El sistema de sólidos de la figura está formado por una varilla (sólido "2", masa $m$ , longitud $l_2=2\sqrt{2}a$ ) y por una placa cuadrada (sólido "0", masa $m$ , lado $l_0=2a$ ) articulados entre sí en el punto $B$ . Sobre el eje $OX_1$ se apoyan el extremo $A$ de la barra y el lado $BD$ del cuadrado. T…»

2023-10-25T16:14:08Z

Página creada con «== Enunciado == right|350px El sistema de sólidos de la figura está formado por una varilla (sólido "2", masa <math>m</math>, longitud <math>l_2=2\sqrt{2}a</math>) y por una placa cuadrada (sólido "0", masa <math>m</math>, lado <math>l_0=2a</math>) articulados entre sí en el punto <math>B</math>. Sobre el eje <math>OX_1</math> se apoyan el extremo <math>A</math> de la barra y el lado <math>BD</math> del cuadrado. T…»

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== Enunciado ==
[[Imagen:MR_GIC_barra_placa_liso_enunciado.png|right|350px]]
El sistema de sólidos de la figura está formado por una varilla (sólido "2", masa <math>m</math>, longitud <math>l_2=2\sqrt{2}a</math>) y por una placa cuadrada (sólido "0", masa <math>m</math>, lado <math>l_0=2a</math>) articulados entre sí en el punto <math>B</math>. Sobre el eje <math>OX_1</math> se apoyan el extremo <math>A</math> de la barra y el lado <math>BD</math> del cuadrado. Todos los contactos son lisos. Sobre el extremo <math>A</math> se aplica una fuerza horizontal creciente <math>\vec{F}=2\lambda mg\vec{\imath}_1</math> (<math>\lambda=t/T</math>), donde <math>T</math> es una constante. Inicialmente (<math>t=0</math>), el sistema está en reposo y <math>A</math> coincide con <math>O</math>.
#Calcula la aceleración del sistema, los valores de las fuerzas vinculares y la posición de la fuerza normal en <math>BD</math>, todo ello en función del tiempo.
#Calcula el instante en que el vértice <math>B'</math> empieza a despegar (condición de vuelco) y el trabajo realizado hasta ese instante por la fuerza <math>\vec{F}</math>.

== Solución ==

=== Cinemática del problema ===
Suponemos que el lado <math>B'D</math> de la placa no se levanta del suelo. Entonces los dos sólidos realizan una traslación. Las reducciones cinemáticas de los tres movimientos son las siguintes.

Movimiento {21}
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \vec{0}, \qquad \vec{v}^{A}_{21} = \vec{v}_{21}=\dot{x}\,\vec{\imath}_1,
\qquad \vec{\alpha}_{21} = \vec{0}, \qquad \vec{a}_{21} = \ddot{x}\,\vec{\imath}_1
</math>
</center>
Movimiento {01}
<center>
<math>
\vec{\omega}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{v}^{G_0}_{01} = \vec{v}_{01}=\dot{x}\,\vec{\imath}_1,
\qquad \vec{\alpha}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{a}_{01} = \ddot{x}\,\vec{\imath}_1
</math>
</center>
Movimiento {20}
<center>
<math>
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{v}^{B}_{20} = \vec{v}_{20}=\vec{0},
\qquad \vec{\alpha}_{20} = \vec{0}, \qquad \vec{a}_{20} = \vec{0}
</math>
</center>
Al ser traslaciones, las velocidades son las mismas en todos los puntos del sólido. Por eso no es necesario poner las letras en los vectores velocidad.

=== Fuerzas que actúan sobre cada sólido ===
[[Imagen:MR_GIC_barra_placa_liso_fuerzas.png|right|350px]]
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre los sólidos "0" y "2", asi como las dimensiones de la placa, la barra y la distancia entre los puntos <math>A</math> y <math>B'</math>. Expresamos estas fuerzas en el sistema de ejes de la figura
Para el sólido "0 tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{P}_0 = -mg\,\vec{\jmath}_1\\
\vec{F}_{02}^B = B_x\,\vec{\imath}_1 + B_y\,\vec{\jmath}_1\\
\vec{N}^C_{01} = N_C\,\vec{\jmath}_1
\end{array}
</math>
</center>
Y para el sólido "2"
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{F} = F\,\vec{\imath}_1\\
\vec{N}^A_{21} = N_A\,\vec{\jmath}_1\\
\vec{P}_2 = -mg\,\vec{\jmath}_1\\
\vec{F}_{20}^B = -\vec{F}_{02}^B = -B_x\,\vec{\imath}_1 - B_y\,\vec{\jmath}_1
\end{array}
</math>
</center>
Hemos utilizado que, por la Tercera Ley de Newton, <math>\vec{F}^B_{20} = -\vec{F}^B_{02}</math>. Al ser todos los vínculos lisos las fuerzas en los contactos <math>A</math> y <math>C</math> son perpendiculares a las superficies.

=== Movimiento de los sólidos ===

Tenemos 6 incógnitas, a saber
<center>
<math>
\{x, B_x, B_y, N_C, N_A, \delta\}
</math>
</center>
Tendremos 6 ecuaciones, provenientes de aplicar el T.C.M. y el T.M.C. a los dos sólidos.
Aplicamos el T.C.M. a los dos sólidos

T.C.M. para el sólido "2":
<center>
<math>
m\vec{a}^{G_2}_{21} = \vec{F} + \vec{N}^A_{21} + \vec{P}_2 + \vec{F}^B_{20}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{llr}
(X_1): & m\ddot{x} = F -B_x & (1)\\
(Y_1): & 0 = N_A - mg - B_y & (2)
\end{array}
\right.
</math>
</center>
T.C.M. para el sólido "0":
<center>
<math>
m\vec{a}^{G_0}_{01} = \vec{N}^C_{01} + \vec{P}_0 + \vec{F}^B_{02}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{llr}
(X_1): & m\ddot{x} = B_x & (3)\\
(Y_1): & 0 = N_C - mg + B_y & (4)
\end{array}
\right.
</math>
</center>

Ahora aplicamos el T.M.C. en el centro de masas de cada sólido.

T.M.C. para el sólido "2":<math>\dot{\vec{L}}_{G_2} = \vec{M}^{ext}_{G_2}</math>

Calculamos los momentos sobre el sólido "2"
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{G_2A}\times\vec{F} = (-a\,\vec{\imath}_1 - a\vec{\jmath}_1)\times(F\,\vec{\imath}_1) = aF\,\vec{k}_1\\
\overrightarrow{G_2A}\times\vec{N}^A_{21} = (-a\,\vec{\imath}_1 - a\vec{\jmath}_1)\times(N_A\,\vec{\jmath}_1) = -aN_A\,\vec{k}_1\\
\overrightarrow{G_2G_2}\times\vec{P}^{2} =\vec{0}\\
\overrightarrow{G_2B}\times\vec{F}^B_{20} = (a\,\vec{\imath}_1 + a\vec{\jmath}_1)\times(-B_x\,\vec{\jmath}_1 - B_y\,\vec{\jmath}_1) = -a(B_y-B_x)\,\vec{k}_1
\end{array}
</math>
</center>
Por tanto el momento total de las fuerzas externas es
<center>
<math>
\vec{M}^{ext}_{G_2} = \overrightarrow{G_2A}\times\vec{F} + \overrightarrow{G_2A}\times\vec{N}^{\,A}_{21} + \overrightarrow{G_2B}\times\vec{F}^{\,B}_{20} = a(F - N_A + B_x - B_y)\,\vec{k}_1
</math>
</center>
Por otro lado, el momento cinético respecto a <math>G_2</math> es
<center>
<math>
\vec{L}_{G_2} = I_{33}(G_2)\,\vec{\omega}_{21}
</math>
</center>
y su derivada temporal es
<center>
<math>
\dot{\vec{L}}_{G_2} = I_{33}(G_2)\,\vec{\alpha}_{21} = \vec{0}
</math>
</center>
Aplicando el T.M.C. obtenemos la ecuación
<center>
<math>
F - N_A + B_x - B_y=0 \qquad (5)
</math>
</center>
Hacemos lo mismo para el sólido "0". El T.M.C. nos dice <math>\dot{\vec{L}}_{G_0} = \vec{M}^{ext}_{G_0}</math>
Calculamos los momentos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{G_0G_0}\times\vec{P}^{0} =\vec{0}\\
\overrightarrow{G_0B}\times\vec{F}^B_{02} = (-a\,\vec{\imath}_1 + a\vec{\jmath}_1)\times(B_x\,\vec{\jmath}_1 + B_y\,\vec{\jmath}_1) = -a(B_y+B_x)\,\vec{k}_1\\
\overrightarrow{G_0C}\times\vec{N}^C_{01} = (\delta\,\vec{\imath}_1 - a\vec{\jmath}_1)\times(N_C\,\vec{\jmath}_1) = \delta N_C\,\vec{k}_1
\end{array}
</math>
</center>
Por tanto el momento total de las fuerzas externas es
<center>
<math>
\vec{M}^{ext}_{G_0} = \overrightarrow{G_0B}\times\vec{F}^{\,B}_{02} + \overrightarrow{G_0C}\times\vec{N}^{\,C}_{01} =
\delta N_C-aB_x-aB_y\,\vec{k}_1
</math>
</center>
Por otro lado, el momento cinético respecto a <math>G_0</math> es
<center>
<math>
\vec{L}_{G_0} = I_{33}(G_0)\,\vec{\omega}_{01}
</math>
</center>
y su derivada temporal es
<center>
<math>
\dot{\vec{L}}_{G_0} = I_{33}(G_0)\,\vec{\alpha}_{01} = \vec{0}
</math>
</center>
Aplicando el T.M.C. obtenemos la ecuación
<center>
<math>
N_C\delta - B_xa - B_ya=0 \qquad (6)
</math>
</center>
Reunimos aquí las seis ecuaciones que hemos obtenido
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
m\ddot{x} = F -B_x & (1)\\
0 = N_A - mg - B_y & (2)\\
m\ddot{x} = B_x & (3)\\
0 = N_C - mg + B_y & (4)\\
F - N_A + B_x - B_y=0 & (5)\\
N_C\delta - B_xa - B_ya=0 & (6)
\end{array}
</math>
</center>
Sumando las ecuaciones (1) y (3) obtenemos
<center>
<math>
\ddot{x} = F/2 = \lambda g = g\dfrac{t}{T}
</math>
</center>
De la ecuación (3) obtenemos <math>B_x</math>. Restando las ecuaciones (2) y (5) calculamos <math>N_A</math>. El resto de incógnitas se despejan fácilmente. La solución final es
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\ddot{x} &=& \lambda g\\
B_x &=& \lambda mg\\
B_y &=& \dfrac{3\lambda -1}{2}mg\\
N_A &=& \dfrac{3\lambda+1}{2}mg\\
N_C &=& \dfrac{3(1-\lambda)}{2}mg\\
\delta &=& \dfrac{5\lambda-1}{3(1-\lambda)}a
\end{array}
</math>
</center>

=== Momento en que el vértice <math>B'</math> empieza a despegar ===
La placa estará pegada al suelo mientras el punto <math>C</math> permanezca dentro de su base. La condición límite se alcanza cuando
<center>
<math>
\delta(t_0) = a \Longrightarrow
\lambda(t_0) = \dfrac{1}{2}
\Longrightarrow
t_0 = \dfrac{T}{2}
</math>
</center>

=== Trabajo realizado por la fuerza <math>F</math> ===
La potencia instantánea transmitida por la fuerza es
<center>
<math>
P_F = \vec{F}\cdot\vec{v}^A_{21} = F\dot{x}
</math>
</center>
Sabiendo que parte del reposo tenemos
<center>
<math>
\dot{x} = \int\limits_0^t\ddot{x}\,\mathrm{d}t = \int\limits_0^t g\dfrac{t}{T}\,\mathrm{d}t
=\dfrac{g}{2T}t^2
</math>
</center>
El trabajo total realizado por la fuerza es
<center>
<math>
W_F = \int\limits_0^{T/2}P_F = \int\limits_0^{T/2}\dfrac{mg^2}{T^2}t^3\,\mathrm{dt} =
\dfrac{1}{64}mg^2T^2
</math>
</center>
Otra forma de calcularlo es darse cuenta que, al considerar como un sólo sólido la barra y la, placa, la única fuerza externa que realiza trabajo es <math>\vec{F}</math>. Entonces podemos aplicar el teorema de la energía cinética para obtener
<center>
<math>
W_F = \Delta(T_2+T_0) = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}_{21}|^2(t_0) +\dfrac{1}{2}m|\vec{v}_{01}|^2(t_0)
</math>
</center>
Y
<center>
<math>
\vec{v}_{21} = \vec{v}_{01} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1
</math>
</center>
Utilizando el cálculo de <math>\dot{x}</math> reobtenemos el valor del trabajo de la fuerza.

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