Barra deslizante en armazón rotatorio - Historial de revisiones

Drake: /* Aceleración de B */

2024-01-14T11:49:27Z

Aceleración de B

Drake: /* Aceleración de A */

2024-01-14T11:47:30Z

Aceleración de A

Drake: /* Velocidades de B */

2024-01-14T11:45:20Z

Velocidades de B

Drake: /* Velocidades de A */

2024-01-14T11:44:21Z

Velocidades de A

Drake: /* Enunciado */

2024-01-14T11:06:32Z

Enunciado

Drake: Página creada con «==Enunciado== El armazón de barras paralelas a los ejes $OX_0$ y $OZ_0$ (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo $OZ_1$ , de tal modo que el eje $OX_0$ permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo $OX_1Y_1$ (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud $L$ , se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje
2024-01-12T19:08:43Z

Página creada con «==Enunciado== El armazón de barras paralelas a los ejes <math>OX_0</math> y <math>OZ_0</math> (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1</math>, de tal modo que el eje <math>OX_0</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud <math>L</math>, se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje <ma…»

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==Enunciado==
El armazón de barras paralelas a los ejes <math>OX_0</math> y <math>OZ_0</math> (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1</math>, de tal modo que el eje <math>OX_0</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud <math>L</math>, se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje <math>OX_0</math>, mientras que su extremo <math>B</math> desliza a lo largo del eje <math>OZ_0</math>. Utilizando los ángulos <math>\theta</math> y <math>\varphi</math> (definidos en la figura), así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, determine:

# <math>\vec{v}^{A}_{01}</math>, <math>\vec{v}^{A}_{20}</math> y <math>\vec{v}^{A}_{21}</math>.
# <math>\vec{v}^{B}_{01}</math>, <math>\vec{v}^{B}_{20}</math> y <math>\vec{v}^{B}_{21}</math>.
# <math>\vec{\alpha}_{21}</math>, <math>\vec{a}^{A}_{21}</math> y <math>\vec{a}^{B}_{21}</math>.

<center>[[Archivo:barra-deslizante-rotante.png]]</center>

'''Nota''': Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.

==Velocidades de A==
;Movimiento de arrastre {01}: En su movimiento como punto del armazón, el punto A se encuentra rotando alrededor del eje <math>OZ_0</math>. Su velocidad instantánea es

<center><math>\vec{v}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}</math></center>

:La velocidad angular de este movimiento la da la derivada temporal del ángulo que forman los dos ejes <math>OX_1</math> y <math>OX_0</math>

<center><math>\vec{\omega}_{01}=\dot{\varphi}\vec{k}_0</math></center>

:mientras que la posición instantánea de A es

<center><math>\overrightarrow{OA}=L\cos(\theta)\vec{\imath}_0</math></center>

:lo que nos da la velocidad de arrastre

<center><math>\vec{v}^A_{01}=(\dot{\varphi}\vec{k}_0)\times(L\cos(\theta)\vec{\imath}_0) = L\dot{\varphi}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0</math></center>

;Movimiento relativo {20}: El punto A de la barra se desliza a lo largo del eje <math>OX_0</math>. Puesto que conocemos su posición en todo momento, podemos hallar su velocidad simplemente derivando

<center><math>\vec{r}^A_{20}=L\cos(\theta)\vec{\imath}_0</math>{{tose}}<math>\vec{v}^A_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{r}^A_{20}\right)\right|_0=-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0</math></center>

;Movimiento absoluto {21}: Una vez que tenemos las velocidades de arrastre y relativa, la velocidad absoluta la calculamos sumando las dos anteriores

<center><math>\vec{v}^A_{21}=\vec{v}^A_{20}+\vec{v}^A_{01}=-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0+L\dot{\varphi}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0</math></center>

==Velocidades de B==
Las velocidades de B son incluso más fáciles de calcular que las de A.

;Velocidad de arrastre {01}: El punto B se encuentra en el propio eje (permanente) de rotación, por lo que

<center><math>\vec{v}^B_{01}=\vec{0}</math></center>

;Velocidad relativa {20}: De nuevo se trata de un deslizamiento, que podemos hallar derivando la posición

<center><math>\vec{r}^B_{20}=L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{k}_0</math>{{tose}}<math>\vec{v}^B_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{r}^B_{20}\right)\right|_0=L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{k}_0</math></center>

;Velocidad absoluta {21}: Al ser nula la velocidad de arrastre, la absoluta coincide con la relativa

<center><math>\vec{v}^B_{21}=\vec{v}^B_{20}+\vec{v}^B_{01}=L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{k}_0</math></center>

==Aceleraciones==
===Aceleración angular===
Para hallar la aceleración angular absoluta emplearemos la fórmula de composición de aceleraciones angulares

<center><math>\vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}</math></center>

En el movimiento de arrastre tenemos una rotación en torno a un eje permanente de rotación, con velocidad angular dada por

<center><math>\vec{\omega}_{01}=\dot{\varphi}\vec{k}_0</math></center>

La aceleración angular de este movimiento es la derivada temporal de esta velocidad, calculada en el sistema 1. Este valor coincide con el calculado en el sistema 0 ya que el vector <math>\vec{k}</math> es el mismo para los dos sistemas en todo instante <math>\vec{k}_0=\vec{k}_1</math>

<center><math>\vec{\alpha}_{01}=\ddot{\varphi}\vec{k}_0</math></center>

En realidad, el resultado es más general y la derivada de una velocidad angular <math>\vec{\omega}_{01}</math> calculada en el sistema 0 coincide siempre con la hallada en el sistema 1:

<center><math>\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{\omega}_{01}\right)\right|_1 = \left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{\omega}_{01}\right)\right|_0+\overbrace{\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{01}}^{=\vec{0}} =\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{\omega}_{01}\right)\right|_0</math></center>

Para el movimiento relativo, el cálculo es similar. La velocidad angular la da la variación del ángulo <math>\theta</math> que forman de manera continua la barra horizontal del armazón “0” y la barra “2”. La dirección y el sentido de <math>\vec{\omega}_{20}</math> los da la regla de la mano derecha, observando para donde gira la barra “2” cuando <math>\theta</math> aumenta

<center><math>\vec{\omega}_{20}=\dot{\theta}\vec{\jmath}_0</math></center>

Derivando aquí respecto al tiempo en el sistema “0” obtenemos la aceleración angular relativa

<center><math>\vec{\alpha}_{20}=\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0</math></center>

La aceleración angular absoluta la obtenemos sustituyendo en la fórmula de composición de aceleraciones

<center><math>\vec{\alpha}_{21}=\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0+\ddot{\varphi}\vec{k}_0+(\dot{\varphi}\vec{k}_0)\times(\dot{\theta}\vec{\jmath}_0) = -\dot{\theta}\dot{\varphi}\vec{\imath}_0+\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0+\ddot{\varphi}\vec{k}_0</math></center>

===Aceleración de A===
El teorema de Coriolis nos da la aceleración angular absoluta

<center><math>\vec{a}^A_{21}=\vec{a}^A_{20}+\vec{a}^A_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^A_{20}</math></center>

Veamos cada término por separado:

;Aceleración relativa {20}: Puesto que conocemos el movimiento de A sobre la barra, podemos calcular la aceleración de A derivando su velocidad relativa

<center><math>\vec{a}^A_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^A_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = (-L\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)-L\dot{\theta}^2\cos(\theta))\vec{\imath}_0</math></center>

;Aceleración de arrastre {01}: Al tratarse de una rotación permanente en torno a un eje que pasa por O

<center><math>\vec{a}^A_{01}=\vec{a}^O_{01}+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OA}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA})</math></center>

:donde

<center><math>\vec{a}^O_{01}=\vec{0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OA}=(\ddot{\varphi}\vec{k}_0)\times(L\cos(\theta)\vec{\imath}_0)=L\ddot{\varphi}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA})=-L\dot{\varphi}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_0</math></center>

:lo que da la aceleración de arrastre

<center><math>\vec{a}^A_{01}=-L\dot{\varphi}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_0+L\ddot{\varphi}\cos(\theta)\vec{\jmath}_0</math></center>

;Término de Coriolis: Por último tenemos

<center><math>2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^A_{20}=2(\dot{\varphi}\vec{k}_0)\times(-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0) = -2L\dot{\varphi}\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_0</math></center>

Sumando las tres contribuciones obtenemos la aceleración absoluta

<center><math>\vec{a}^A_{21}=-L\left(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)+(\dot{\theta}^2+\dot{\varphi}^2)\cos(\theta)\right)\vec{\imath}_0+L\left(\ddot{\varphi}\cos(\theta)-2\dot{\varphi}\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\right)\vec{\jmath}_0</math></center>

===Aceleración de B===
La aceleración absoluta de B es más sencilla de calcular que la de A. El teorema de Coriolis nos da

<center><math>\vec{a}^B_{21} = \vec{a}^B_{20}+\vec{a}^B_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}</math></center>

Sin embargo, la aceleración de arrastre de B es nula, por encontrarse este punto sobre un eje permanente de rotación. Además, la velocidad relativa <math>\vec{v}^B_{20}</math> es a lo largo del eje Z y por tanto paralela a la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{01}</math>, por lo que también el término de Coriolis se anula y la aceleración absoluta coincide con la relativa.

<center><math>\vec{a}^B_{21}=\vec{a}^B_{20}</math></center>

A su vez, la aceleración relativa se calcula derivando la velocidad, pues conocemos la posición de B en todo momento

<center><math>\vec{a}^B_{21}=\vec{a}^B_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^B_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\left(L\ddot{\theta}\cos(\theta)-L\dot{\theta}^2\mathrm{sen}(\theta)\right)\vec{k}_0</math></center>

También podíamos haber dicho directamente que conocemos la posición de B en el sistema 1 y derivar esta expresión respecto al tiempo

<center><math>\vec{r}^B_{21}=L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{k}_1</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B_{21}=L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{k}_1</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^B_{21}=\left(L\ddot{\theta}\cos(\theta)-L\dot{\theta}^2\mathrm{sen}(\theta)\right)\vec{k}_1</math></center>

[[Categoría:Problemas de Movimiento Relativo (GITI)]]