Pedro: Página creada con «== Enunciado == right En un plano $OXY$ , se define el sistema cinemático formado por los dos siguientes elementos geométricos: #una circunferencia fija, de radio $R$ y centrada en el punto $C$ de coordenadas $(x_C=R,\, y_C=0)$ ; #un segmento rectilíneo móvil $A'A$ , de longitud superior a $4R$ , el cual gira con velocidad angular constante $\omega$ (en sentido…»

2023-09-27T11:03:33Z

Página creada con «== Enunciado == right En un plano <math>OXY</math>, se define el sistema cinemático formado por los dos siguientes elementos geométricos: #una circunferencia fija, de radio <math>R</math> y centrada en el punto <math>C</math> de coordenadas <math>(x_C=R,\, y_C=0)</math>; #un segmento rectilíneo móvil <math>A'A</math>, de longitud superior a <math>4R</math>, el cual gira con velocidad angular constante <math>\omega</math> (en sentido…»

Página nueva

== Enunciado ==
[[Imagen:F1_GIA_p04_08_a.png|right]]
En un plano <math>OXY</math>, se define el sistema cinemático formado por los dos siguientes elementos geométricos:
#una circunferencia fija, de radio <math>R</math> y centrada en el punto <math>C</math> de coordenadas <math>(x_C=R,\, y_C=0)</math>;
#un segmento rectilíneo móvil <math>A'A</math>, de longitud superior a <math>4R</math>, el cual gira con velocidad angular constante <math>\omega</math> (en sentido antihorario) alrededor de un eje fijo que pasa por su punto medio <math>O</math> y es normal al plano <math>OXY</math> (eje <math>OZ</math>).
Sabiendo que el ángulo <math>\theta</math> ( que forman <math>OA</math> y <math>OX</math>) es nulo en
el instante inicial <math>(t=0)</math>; y considerando como móvil problema el
punto <math>P</math> en el que se cortan el segmento <math>A'A</math> y la circunferencia , se pide:
#item Determinar las ecuaciones horarias, <math>\mathbf{r}(t) = \overrightarrow{OP}(t) = x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}</math>, del punto <math>P</math>, así como sus vectores velocidad, <math>\mathbf{v}(t)</math>, y aceleración, <math>\mathbf{a}(t)</math>.
#Calcular las aceleraciones tangencial y normal de dicho punto <math>P</math>.

== Solución ==

=== Ecuaciones horarias===

Determinamos la posición del punto <math>P</math> a través de los vectores
<math>\overrightarrow{OC}</math> y <math>\overrightarrow{CP}</math>,
<center><math>
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP}
</math></center>
El vector <math>\overrightarrow{OC}</math> es
<center><math>
\overrightarrow{OC} = R\,\vec{\imath} = [\,R\,,\,0\,,\,0\,];
</math></center>
En el dibujo vemos que el ángulo que forma el vector <math>\overrightarrow{CP}</math> con
el eje <math>OX</math> es <math>2\theta</math>. Como su módulo es el radio <math>R</math> tenemos
<center><math>
\overrightarrow{CP} = R\,\cos(2\theta)\,\vec{\imath} + R\,\,\mathrm{sen}\,(2\theta)\,\vec{\jmath} =
[\,R\,\cos(2\theta)\,,\,R\,\,\mathrm{sen}\,(2\theta)\,,0\,]
</math></center>
Así pues la posición del punto <math>P</math> viene dada por el vector
<center><math>
\overrightarrow{OP} = [\,R\,(1+\cos(2\theta))\,,\,R\,\,\mathrm{sen}\,(2\theta)\,,\,0\,]
</math></center>
Teniendo en cuenta que <math>\theta(t)=\omega t</math> tenemos
<math>\dot{\theta}=\omega</math> y por tanto
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}_P = \dot{\overrightarrow{OP}} =
[\,-2R\omega\,\mathrm{sen}\,(2\theta)\,,\,2R\omega\cos(2\theta)\,,\,0\,] \\ \\
\vec{a}_P = \dot{\vec{v}}_P = -4R\omega^2\,[\,\cos(2\theta)\,,\,\,\mathrm{sen}\,(2\theta)\,,\,0\,]
\end{array}
</math></center>

=== Aceleración tangencial y normal===
[[Imagen:F1_GIA_p04_08_b.png|right]]
El módulo de la aceleración es
<center><math>
|\,\vec{a}_P\,| = 4R\omega^2
</math></center>
La aceleración tangencial es la proyección de <math>\vec{a}</math> sobre la dirección
tangente a la trayectoria, es decir
<center><math>
a_T = \dfrac{{\vec{a}_P}\cdot{\vec{v}_P}}{|\,\vec{v}_P\,|}=0
</math></center>
La aceleración tangencial es cero. Esto puede deducirse también del
hecho de que el módulo de la velocidad, <math>|\,\vec{v}_P\,|=2R\omega</math> es
constante.

La aceleración normal es
<center><math>
a_N = \sqrt{|\,\vec{a}_P\,|^2-a_T^2} = |\,\vec{a}_P\,| = 4R\omega^2
</math></center>
[[Categoría:Cinemática del punto material|1]]
[[Categoría:Física I (G.I.A.)]]
[[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]]

Barra deslizando sobre una circunferencia (G.I.A.) - Historial de revisiones