Pedro: Página creada con «= Enunciado = right Una barra (sólido "2") se apoya en una esquina (sólido "1") como se indica en la figura. El punto $A$ de la barra se mueve sobre una barra fija (también sólido "1") con velocidad constante $\vec{v}_0$ . En el instante indicado en la figura la barra forma un ángulo $\pi/4$ con el eje $O_1X_1$ . Las preguntas que se plantean a continuación se refieren todas…»

2023-11-08T10:51:57Z

Página creada con «= Enunciado = right Una barra (sólido "2") se apoya en una esquina (sólido "1") como se indica en la figura. El punto <math>A</math> de la barra se mueve sobre una barra fija (también sólido "1") con velocidad constante <math>\vec{v}_0</math>. En el instante indicado en la figura la barra forma un ángulo <math>\pi/4</math> con el eje <math>O_1X_1</math>. Las preguntas que se plantean a continuación se refieren todas…»

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= Enunciado =
[[Imagen:MRGIC_barra_esquina_enunciado.png|right]]
Una barra (sólido "2") se apoya en una esquina (sólido "1") como se indica
en la figura. El punto <math>A</math> de la barra se mueve sobre una barra fija (también
sólido "1") con velocidad constante <math>\vec{v}_0</math>. En el instante indicado en la
figura la barra forma un ángulo <math>\pi/4</math> con el eje <math>O_1X_1</math>. Las preguntas que
se plantean a continuación se refieren todas al instante indicado en la figura.
#Expresa el vector geométrico <math>\overrightarrow{O_1A}</math>.
#Encuentra gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
#vector de posición del C.I.R. respecto del origen <math>O_1</math>.
#Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto <math>A</math>. ¿Cuál es la velocidad <math>\vec{v}^{\,O}_{21}</math>?
#Si la barra es homogénea, tiene masa <math>M</math> y longitud <math>L=2h</math> calcula el momento de inercia de la barra respecto a un eje paralelo al eje <math>O_1Z_1</math> que pase por <math>O_1</math>.

= Solución =

== Vector geométrico <math>\overrightarrow{O_1A}</math> ==
Como el ángulo que forma la barra con el eje <math>OX_1</math> es <math>\pi/4</math>, la componentes del vector <math>\overrightarrow{OA}</math> son iguales sobre los ejes <math>OX_1</math> y <math>OY_1</math>,
<center>
<math>
\overrightarrow{O_1A} = h\,\vec{\imath}_1 + h\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>

== Posición del C.I.R. ==
[[Imagen:MRGIC_barra_esquina_CIR.png|right]]
Como se indica en la figura de la derecha, la velocidad <math>\vec{v}^{\,A}_{21}</math> es paralela al eje <math>O_1X_1</math>, mientras que la velocidad <math>\vec{v}^{\,O}_{21}</math> es paralela a la propia barra, pues esta desliza sobre la esquina. Trazando las rectas perpendiculares a las velocidades respectivas en los dos puntos encontramos el C.I.R. <math>I_{21}</math> en el punto en que se cortan. El vector de posición es
<center>
<math>
\overrightarrow{O_1I}_{21} = h\,\vec{\imath}_1 - h\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>

== Reducción cinemática en <math>A</math> ==
Hay tres maneras de hacer este apartado: a través del C.I.R., usando que la velocidad <math>\vec{v}^{\,O}_{21}</math> es paralela a la propia barra o usando la condición de equiproyectividad.

=== Usando el C.I.R. ===
Al ser un movimiento plano sabemos que el vector rotación es de la forma
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{k}.
</math>
</center>
Como la velocidad en el C.I.R. es cero tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{I_{21}A}.
</math>
</center>
El vector geométrico es
<center>
<math>
\overrightarrow{I_{21}A} = 2h\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Por tanto tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} = (\omega\,\vec{k})\times(2h\,\vec{\jmath}_1) = -2\omega h\,\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
Como por otro lado tenemos <math>\vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1</math> tenemos
<center>
<math>
\omega = -\dfrac{v_0}{2h}.
</math>
</center>
La reducción cinemática en <math>A</math> es
<center>
<math>
\vec{\omega} = -\dfrac{v_0}{2h}\,\vec{k}, \qquad\qquad \vec{v}^{\,A}_{21}= v_0\,\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
Ahora podemos calcular la velocidad en <math>O</math>
<center>
<math>
\vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AO_1}
=
\dfrac{v_0}{2}\,(\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1)
</math>
</center>

=== Usando la dirección conocida de la velocidad en <math>O</math> ===
De nuevo razonamos que, al ser un movimiento plano, el vector rotación es de la forma
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{k}.
</math>
</center>
Sabemos que la velocidad en <math>O</math> debe ser paralela al vector <math>\overrightarrow{O_1A}</math>.
Usando el Teorema de Chasles tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,O_1}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AO_1}
=
(v_0+\omega h)\,\vec{\imath}_1 - \omega h\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Imponiendo que debe ser paralelo a la barra tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,O_1}_{21}\times\overrightarrow{O_1A} = \vec{0}
\Longrightarrow
2\omega h^2 + v_0h=0
\Longrightarrow
\omega = -\dfrac{v_0}{2h}.
</math>
</center>
Con lo que reobtenemos el resultado anterior.

=== Usando equiproyectividad ===
De nuevo partimos de que, al ser un movimiento plano, el vector rotación es
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{k}.
</math>
</center>
La velocidad en <math>O</math> debe ser paralela a la barra, por lo que debe tener la forma
<center>
<math>
\vec{v}^{\,O_1}_{21} = v\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath}_1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\jmath}_1\right).
</math>
</center>
La condición de equiproyectividad impone que
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21}\cdot\overrightarrow{O_1A} =\vec{v}^{\,O_1}_{21}\cdot\overrightarrow{O_1A}
\Longrightarrow
\sqrt{2}vh = v_0h
\Longrightarrow
v = v_0/\sqrt{2}.
</math>
</center>
La velocidad en <math>O_1</math> es
<center>
<math>
\vec{v}^{\,O_1}_{21} = \dfrac{v_0}{2}\,\left(\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1\right).
</math>
</center>
Y ahora podemos usar el Teorema de Chasles entre los puntos <math>O_1</math> y <math>A</math> para obtener <math>\vec{\omega}_{21}</math>.

== Momento de inercia en <math>O_1</math> ==
Lo mas sencillo es utilizar el Teorema de los ejes paralelos. El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a
la barra que pase por su centro de masas es
<center>
<math>
I_G = \dfrac{1}{12}ML^2 = \dfrac{1}{3}Mh^2.
</math>
</center>
El momento de inercia pedido se puede calcular así
<center>
<math>
I_{O_1} = I_G + Md^2,
</math>
</center>
donde <math>d</math> es la distancia entre el centro de la barra, <math>G</math> y el punto <math>O_1</math>. Del
dibujo podemos deducir
<center>
<math>
\overline{O_1G} = \overline{O_1A} - \overline{GA}
=
\sqrt{2}h - h
=
h\,(\sqrt{2}-1).
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
I_{O_1} = \dfrac{1}{3}Mh^2 + Mh^2\,(\sqrt{2}-1)^2
=
\dfrac{2}{3}\,(5-3\sqrt{2})\,Mh^2 = 0.505Mh^2.
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]
[[Categoría:Problemas de cinética del sólido rígido]]
[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]

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