Pedro: Página creada con «= Enunciado = right Una barra de masa $m$ y longitud 4h (sólido "2") está articulada en un extremo (punto $A$ ) en un pasador que puede deslizar sobre el eje fijo $OY_1$ . El otro extremo de la barra se apoya en un apoyo vertical, de modo que el punto $C$ de la barra puede deslizar sin rozamiento sobre el apoyo. Un muelle de constante elástica $k$ y longitud nat…»

2023-11-03T09:22:40Z

Página creada con «= Enunciado = right Una barra de masa <math>m</math> y longitud 4h (sólido "2") está articulada en un extremo (punto <math>A</math>) en un pasador que puede deslizar sobre el eje fijo <math>OY_1</math>. El otro extremo de la barra se apoya en un apoyo vertical, de modo que el punto <math>C</math> de la barra puede deslizar sin rozamiento sobre el apoyo. Un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud nat…»

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= Enunciado =
[[Archivo:MRGIC-barraApoyoVertical-Enunciado.png|right]]
Una barra de masa <math>m</math> y longitud 4h (sólido "2") está articulada en un extremo (punto <math>A</math>) en un pasador
que puede deslizar sobre el eje fijo <math>OY_1</math>. El otro extremo de la barra se apoya en un apoyo vertical, de modo
que el punto <math>C</math> de la barra puede deslizar sin rozamiento sobre el apoyo. Un muelle de constante elástica
<math>k</math> y longitud natural <math>2h</math> conecta el extremo <math>A</math> de la barra con el punto <math>O</math>. La gravedad actúa como
se indica en la figura.

#Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} expresada en la base del sólido "1" y en función de las coordenadas <math>\{s, \theta\}</math> y sus derivadas temporales. ¿Como es la ligadura cinemática que relaciona estas coordenadas?
#Calcula las siguientes magnitudes cinéticas del sólido "2": <math>\vec{C}</math>, <math>\vec{L}_G</math>, <math>T</math>, <math>U</math>. Expresa los resultados usando las coordenadas <math>\{s, \theta\}</math> y sus derivadas temporales.
#Supongamos que la función de Lagrange y el vínculo cinemático tienen esta forma ( <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math> y <math>E</math> son constantes dadas)
<center>
<math>
L = A\dot{s}^2 + B\dot{\theta}^2 + C \dot{s}\,\dot{\theta},
\qquad
g = D\dot{s}\cos{\theta} + E\dot{\theta}=0.
</math>
</center>
Aplicando la técnica de los multiplicadores de Lagrange, encuentra las ecuaciones de movimiento.

= Solución =

== Reducción cinemática ==
Observando el dibujo vemos que
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{s}\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Al ser un movimiento plano el vector rotación sólo tiene componente en el eje <math>Z</math>.

La barra '''desliza''' sobre el apoyo vertical en <math>C</math>. Esto implica que <math>\vec{v}^{\,C}_{21}</math> debe ser paralela a la propia barra
<center>
<math>
\vec{v}^{\,C}_{21} \parallel \overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC}.
</math>
</center>
Así pues el sistema tiene un grado de libertad.
Aplicamos Chasles para encontrar la expresión matemática del vínculo
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,C}_{21} & = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC} =-2h\dot{\theta}\tan\theta\,\vec{\imath}_1 + (\dot{s}-2h\dot{\theta})\,\vec{\jmath}_1. \\
&\\
& \overrightarrow{AC} = 2h\,\vec{\imath}_i -2h\tan\theta\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Aplicamos la ligadura en <math>C</math>
<center>
<math>
\vec{v}^{\,C}_{21}\times\overrightarrow{AC} = 0
\Longrightarrow
\dot{s}\cos^2\theta - 2h\dot{\theta}=0.
</math>
</center>
Otra forma de llegar a esta ligadura es de forma geométrica. Observando el dibujo vemos que
<center>
<math>
\tan\theta = \dfrac{s-h}{2h}
\Longrightarrow
s-h - 2h\tan\theta = 0.
</math>
</center>
Derivando respecto al tiempo obtenemos la ligadura cinemática anterior.

== Cinética ==

''' Cantidad de movimiento '''

La velocidad del centro de masas de la barra es
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,G}_{21} & = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} =-2h\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + (\dot{s}-2h\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1. \\
&\\
& \overrightarrow{AG} = 2h\cos\theta\vec{\imath}_i -2h\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Y la cantidad de movimiento es
<center>
<math>
\vec{C} = m\vec{v}^{\,G}_{21} = -2mh\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + m(\dot{s}-2h\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>

''' Momento angular en el centro de masas '''

Como es un movimiento plano y es el centro de masas de la barra podemos usar la expresión
<center>
<math>
\vec{L}_G = I_G\vec{\omega}_{21} = -\dfrac{4}{3}mh^2\dot{\theta}\,\vec{k}.
\qquad \qquad
(I_G = m(4h)^2/12 = 4mh^2/3)
</math>
</center>

''' Energía cinética '''

La calculamos pasando por el centro de masas. Al ser un movimiento plano
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I_G|\vec{\omega}_{21}|^2 =
\dfrac{1}{2}m\dot{s}^2 + \dfrac{8}{3}mh^2\dot{\theta}^2 -2mh\dot{s}\dot{\theta}\cos\theta.
</math>
</center>

''' Energía potencial '''

La energía potencial elástica del muelle es
<center>
<math>
U_k = \dfrac{1}{2}k\,(s-2h)^2.
</math>
</center>
La energía potencial gravitatoria es (tomando como referencia la altura del eje <math>X_1</math>)
<center>
<math>
U_g = mg(s-2h\,\mathrm{sen}\,\theta).
</math>
</center>
La energía potencial total es
<center>
<math>
U = U_g + U_k = mg(s-2h\,\mathrm{sen}\,\theta) + \dfrac{1}{2}k\,(s-2h)^2.
</math>
</center>

== Multiplicadores de Lagrange ==
Siguiendo el enunciado suponemos que la función de Lagrange y el vínculo cinemático son
<center>
<math>
L = A\dot{s}^2 + B\dot{\theta}^2 + C \dot{s}\,\dot{\theta},
\qquad
g = D\dot{s}\cos{\theta} + E\dot{\theta}=0.
</math>
</center>
Como hay un vínculo cinemático hay que introducir un multiplicador de Lagrange. De este modo podemos seguir trabajando con las coordenadas <math>\{s,\theta\}</math>, aunque el sistema tenga sólo un grado de libertad. Las ecuaciones de Lagrange son como sigue

''' Ecuación para <math>s</math> '''

<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{s}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial s} = \mu\,\dfrac{\partial g}{\partial \dot{s}}
\Longrightarrow
2A\ddot{s} + C\ddot{\theta} = \mu D\cos\theta. \qquad (1)
</math>
</center>

''' Ecuación para <math>\theta</math> '''

<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial \theta} = \mu\,\dfrac{\partial g}{\partial \dot{\theta}}
\Longrightarrow
2B\ddot{\theta} + C\ddot{s} = \mu E. \qquad (2)
</math>
</center>

''' Ecuación del vínculo '''

La tercera ecuación es el propio vínculo
<center>
<math>
D\dot{s}\cos\theta + E\dot{\theta} = 0. \qquad (3)
</math>
</center>

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Barra deslizando sobre apoyo vertical (Ene. 2021) - Historial de revisiones