Pedro: Página creada con «== Enunciado == 250px Una barra homogénea de longitud $L$ , masa $M$ y radio despreciable está articulada en $O$ , moviéndose en el espacio tridimensional $OX_1Y_1Z_1$ con su posición descrita mediante las coordenadas $\{\psi,\theta\}$ , ángulos de precesión y nutación, respectivamente. Escogemos unos ejes $OX_2Y_2Z_2$ solidarios con la barra como se indica en la…»

2023-10-17T14:57:59Z

Página creada con «== Enunciado == right|250px Una barra homogénea de longitud <math>L</math>, masa <math>M</math> y radio despreciable está articulada en <math>O</math>, moviéndose en el espacio tridimensional <math>OX_1Y_1Z_1</math> con su posición descrita mediante las coordenadas <math>\{\psi,\theta\}</math>, ángulos de precesión y nutación, respectivamente. Escogemos unos ejes <math>OX_2Y_2Z_2</math> solidarios con la barra como se indica en la…»

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== Enunciado ==
[[Imagen:MR_GIC_Barra3D.png|right|250px]]
Una barra homogénea de longitud <math>L</math>, masa <math>M</math> y radio despreciable está articulada en <math>O</math>, moviéndose en el espacio tridimensional <math>OX_1Y_1Z_1</math> con su posición descrita mediante las coordenadas <math>\{\psi,\theta\}</math>, ángulos de precesión y nutación, respectivamente. Escogemos unos ejes <math>OX_2Y_2Z_2</math> solidarios con la barra como se indica en la figura, y unos ejes auxiliares intermedios <math>OX_0Y_0Z_0</math>.
#Encuentra la expresión del momento cinético <math>\vec{L}_O</math> de la barra.
#Encuentra la expresión de la energía cinética <math>T</math> de la barra.

== Solución ==
La barra rota alrededor del punto fijo <math>O </math>. Entonces el momento angular y la energía cinética se pueden calcular usando las expresiones
<center>
<math>
\vec{L}_O = \overset\leftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega},
\qquad
T = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\overset\leftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}
</math>
</center>

Usamos la descomposición de movimientos <math>\{21\} = \{20\}+\{01\} </math> para escribir el vector rotación de la barra respecto a los ejes fijos:
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}
</math>
</center>
Observando la figura tenemos
<center>
<math>
\vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\jmath}_{2},
\qquad
\vec{\omega}_{01} = \dot{\psi}\,\vec{k}_{0}
</math>
</center>
El tensor de inercia es fácil de expresar en la base del sólido "2"
<center>
<math>
\overset\leftrightarrow{I}_O
=
I
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right]_2
</math>
</center>
con
<center>
<math>
I = \dfrac{1}{3}ML^2
</math>
</center>

[[Imagen:MR_GIC_Barra3D_vectores.png|right|180px]]
Para poder hacer el producto el tensor de inercia y el vector rotación tienen que estar expresados en la misma base. Usando la figura de la derecha tenemos
<center>
<math>
\vec{\jmath}_0 = \vec{\jmath}_2
\qquad
\vec{k}_0 = -\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_2 + \cos\theta\vec{\jmath}_2
</math>
</center>
con lo que el vector rotación expresado en la base "2" queda
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} =
\left[
\begin{array}{c}
-\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\theta\\
\dot{\theta}\\
\dot{\psi}\cos\theta
\end{array}
\right]_2
</math>
</center>
El momento angular en <math>O </math> es
<center>
<math>
\vec{L}_O = \overset\leftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}_{21}
=
I
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right]_2
\left[
\begin{array}{c}
-\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\theta\\
\dot{\theta}\\
\dot{\psi}\cos\theta
\end{array}
\right]_2
=
\left[
\begin{array}{c}
-I\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\theta\\
I\dot{\theta}\\
0
\end{array}
\right]_2
</math>
</center>
La energía cinética es
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{L}_O
=
\dfrac{1}{2}
\left[
\begin{array}{ccc}
-\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\theta, &
\dot{\theta}, &
\dot{\psi}\cos\theta
\end{array}
\right]_2
\left[
\begin{array}{c}
-I\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\theta\\
I\dot{\theta}\\
0
\end{array}
\right]_2
=
\dfrac{1}{2}\,I\,(\dot{\psi}^2\mathrm{sen}^2\theta + \dot{\theta}^2)
</math>
</center>

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