Pedro: Página creada con «== Enunciado == right Sea un aro de centro $C$ y radio $R$ (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo $OX_1Y_1$ (sólido "1"), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por un pasador giratorio situado en el punto $O$ , y además se halla articulado en su punto $A$ a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal $OX_1$ (ve…»

2023-09-26T13:58:41Z

Página creada con «== Enunciado == right Sea un aro de centro <math>C</math> y radio <math>R</math> (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido "1"), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por un pasador giratorio situado en el punto <math>O</math>, y además se halla articulado en su punto <math>A</math> a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal <math>OX_1</math> (ve…»

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== Enunciado ==
[[Imagen:F1_GIA_aro_con_deslizador_enunciado.png|right]]
Sea un aro de centro <math>C</math> y radio <math>R</math> (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido "1"), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por un pasador giratorio situado en el punto <math>O</math>, y además se halla articulado en su punto <math>A</math> a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal <math>OX_1</math> (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes <math>OX_2Y_2</math> (sólido "2") solidario con el aro en su movimiento. Se pide:
# Determinar gráfica y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
# Sabiendo que el ángulo <math>\theta</math>, que forman los ejes <math>OX_1</math> y <math>AX_2</math>, verifica la ley horaria <math>\theta(t)=\omega t</math> (donde <math>\omega</math> es una constante conocida), calcular <math>\vec{v}_{21}^A(t)</math> y <math>\vec{a}_{21}^C(t)</math>.

== Solución ==
===Determinación gráfica del CIR ===

[[Imagen:F1_GIA_aro_con_deslizador_cir.png|right|300px]]
Vayamos primero con la determinación gráfica. Tenemos la dirección de
la velocidad en dos puntos, el <math>A</math> y el <math>O</math>. Dado que el punto <math>A</math>
sólo puede deslizar sobre el eje <math>OX_1</math>, tenemos
<center><math>
\vec{v}_{21}^A=v_{21}^A\,\vec{\imath}_1
</math></center>
Por otro lado, la velocidad en <math>O</math> debe ser tangente a la
circunferencia del aro, pues éste sólo puede deslizar por el
pasador. Como se indica en la figura adjunta, el punto de corte de las
perpendiculares a las velocidades en esos dos puntos nos da la
posición de <math>I_{21}</math>.

===Cálculo de '''v'''A21 y vC21 ===
Para calcular analíticamente la posición del CIR necesitamos la
velocidad angular y la velocidad en un punto. Al ser un movimiento
plano sabemos que la velocidad angular es perpendicular al plano del
movimiento
<center><math>
\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}
</math></center>
siendo <math>\vec{k}</math> el vector unitario perpendicular al plano. Vamos a calcular la
posición de los puntos <math>A</math> y <math>C</math> en el sistema "1", de modo que
derivando los vectores de posición obtengamos las velocidades. A
partir de ellas, usando la ecuación del campo de velocidades del
movimiento {21} obtendremos el valor de <math>\omega_{21}</math>.

De la figura obtenemos
<center><math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{OA} = 2R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1\\ \\
\overrightarrow{OC} = R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 +R\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
\end{array}
</math></center>
Estos vectores están expresados en el triedro "1", y son válidos en
todo instante. Podemos entonces derivarlos para obtener las
velocidades
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}_{21}^A=\left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OA}}{\mathrm{d}t}\right|_1=2R\,\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath}_1\\
\\
\vec{v}_{21}^C=\left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OC}}{\mathrm{d}t}\right|_1=R\,\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath}_1-R\,\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1
\end{array}
</math></center>
Usando la ecuación del campo de velocidades relacionamos <math>\vec{v}_{21}^A</math> y
<math>\vec{v}_{21}^C</math>
<center><math>
\vec{v}_{21}^C = \vec{v}_{21}^A+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}
</math></center>
Dado que <math>\overrightarrow{AC}=-R\,\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1+R\,\cos\theta\,\vec{\jmath}_1</math>,
haciendo el producto vectorial la ecuación vectorial se desdobla en dos ecuaciones escalares
<center><math>
\left.
\begin{array}{lcl}
R\,\dot{\theta}\,\cos\theta&=&R\,\cos\theta\,(2\,\dot{\theta}-\omega_{21})\\
-R\,\dot{\theta}\,\,\mathrm{sen}\,\theta&=&-R\,\omega_{21}\,\cos\theta
\end{array}
\right\}
\Rightarrow \omega_{21}=\dot{\theta}
</math></center>
Por tanto la reducción del movimiento {21} en el punto <math>C</math> es
<center><math>
\vec{\omega}_{21}=\dot{\theta}\,\vec{k}=\omega\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{21}^C =
R\,\omega\,\cos(\omega t)\,\vec{\imath}_1-R\,\omega\,\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}_1
</math></center>
Podemos calcular <math>\vec{a}_{21}^C</math> derivando directamente en la velocidad
calculada
<center><math>
\vec{a}_{21}^C=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^C}{\mathrm{d}t}\right|_1=-R\,\omega^2[\,\mathrm{sen}\,(\omega
t)\,\vec{\imath}_1+\cos(\omega t)\,\vec{\jmath}_1]
</math></center>

Nos falta la determinación analítica de <math>I_{21}</math>. Dada <math>\vec{v}_{21}^A</math>,
tenemos
<center><math>
\overrightarrow{AI_{21}}=\dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}_{21}^A}{|\vec{\omega}_{21}|^2}=2\,R\,\cos{\theta}\,\vec{\jmath}_1
</math></center>
Podemos ver en la figura que este vector indica el mismo punto que la
determinación gráfica.

=== Base y ruleta del movimiento {21} ===

==== Base ====
La base del movimiento {21} es el lugar geométrico descrito por el C.I.R. del movimiento, <math>I_{21} </math>, visto desde el sólido "1". Este lugar geométrico es la curva descrita por <math>I_{21} </math> durante el movimiento del sólido "2". Para encontrarla, hemos de determinar la expresión del vector de posición de <math>I_{21} </math> visto desde el sólido "1", es decir, el vector <math>\vec{r}^{I_{21}}_{21} </math>. Como el origen de la escuadra del sólido "1" es el punto <math>O </math>, este vector es
<center>
<math>
\vec{r}^{I_{21}}_{21} = \overrightarrow{OI}_{21} =
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AI}_{21}
</math>
</center>
De la geometría observamos que
<center>
<math>
\overrightarrow{OA} = 2\,R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_{1}
</math>
</center>
El otro vector lo hemos calculado en el apartado anterior. Entonces, el vector de posición de <math>I_{21} </math> visto desde el sólido "1" es
<center>
<math>
\vec{r}^{I_{21}}_{21} = 2\,R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_{1}
+
2\,R\,\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
</math>
</center>
Esta curva está descrita en función del parámetro <math>\theta </math>. Durante el movimiento, este ángulo va variando en el tiempo. Para encontrar la expresión de la curva que describe hemos de eliminar el parámetro. Tenemos
<center>
<math>
\vec{r}^{I_{21}}_{21} =
\left\{
\begin{array}{l}
x^{I_{21}}_{21} = 2\,R\,\mathrm{sen}\,\theta \\ \\
y^{I_{21}}_{21} = 2\,R\,\cos\theta
\\ \\
z^{I_{21}}_{21} = 0
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Observando las expresiones de las componentes en <math>X_1 </math> e <math>Y_1 </math> vemos que
<center>
<math>
\left(x^{I_{21}}_{21}\right)^2 + \left(y^{I_{21}}_{21}\right)^2 =
4\,R^2\,\mathrm{sen}^2\theta + 4\,R^2\,\cos^2\theta = (2\,R)^2
</math>
</center>
Las ecuaciones implícitas de la base son
<center>
<math>
\left(x^{I_{21}}_{21}\right)^2 + \left(y^{I_{21}}_{21}\right)^2 = (2\,R)^2
\qquad\qquad
z^{I_{21}}_{21} = 0
</math>
</center>
Esto es una circunferencia de radio <math>2R </math> y centro en el punto <math>O </math>.

==== Ruleta ====
La ruleta del movimiento {21} es el lugar geométrico descrito por el C.I.R. del movimiento, <math>I_{21} </math>, visto desde el sólido "2". Este lugar geométrico es la curva descrita por <math>I_{21} </math> durante el movimiento del sólido "2", visto desde este sólido. Para encontrarla, hemos de determinar la expresión del vector de posición de <math>I_{21} </math> visto desde el sólido "2", es decir, el vector <math>\vec{r}^{I_{21}}_{22} </math>. Como el origen de la escuadra del sólido "2" es el punto <math>A </math>, este vector es
<center>
<math>
\vec{r}^{I_{21}}_{22} = \overrightarrow{AI}_{21} = 2\,R\,\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
</math>
</center>
[[Imagen:F1_GIA_aro_con_deslizador_j1.png‎|right]]
El problema aquí es que el vector <math>\vec{\jmath}_{1} </math> no es constante visto desde el sólido "2". Hemos de expresar este vector en la base del sólido "2". Del dibujo vemos que
<center>
<math>
\vec{\jmath}_{1} = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_2 + \cos\theta\,\vec{\jmath}_2
</math>
</center>
El vector que buscamos es
<center>
<math>
\vec{r}^{I_{21}}_{22} = 2\,R\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\,\vec{\imath}_2 + 2\,R\cos^2\theta\,\vec{\jmath}_2
=
\left\{
\begin{array}{l}
x^{I_{21}}_{22} = 2\,R\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta
\\ \\
y^{I_{21}}_{22} = 2\,R\cos^2\theta
\\ \\
z^{I_{21}}_{22} = 0
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Podemos utilizar las fórmulas del ángulo doble
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\mathrm{sen}\,(2\alpha) = 2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos{\alpha}
\\ \\
\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \mathrm{sen}^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1
\Longrightarrow
\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha)
\end{array}
</math>
</center>
Con esto tenemos
<center>
<math>
\vec{r}^{I_{21}}_{22} = \left\{
\begin{array}{l}
x^{I_{21}}_{22} = R\,\mathrm{sen}\,(2\theta)
\\ \\
y^{I_{21}}_{22} = R\, ( 1 + \cos(2\theta) )
\\ \\
z^{I_{21}}_{22} = 0
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Podemos ver entonces que se cumple
<center>
<math>
\left(x^{I_{21}}_{22}\right)^2
+
\left(y^{I_{21}}_{22}-R\right)^2 = R^2\,\mathrm{sen}^2(2\theta) +
R^2\cos^2(2\theta) = R^2
</math>
</center>
Por tanto, las ecuaciones implícitas de la ruleta son
<center>
<math>
\left(x^{I_{21}}_{22}\right)^2
+
\left(y^{I_{21}}_{22}-R\right)^2 = R^2
\qquad \qquad
z^{I_{21}}_{22} = 0
</math>
</center>
Esto es una circunferencia de radio <math>R </math>, con centro en el punto de coordenadas en la escuadra <math>AX_2Y_2 </math> dadas por <math>(0,R)_{2} </math>. Vemos que el centro resulta ser el punto <math>C </math>. Por tanto la ruleta es la circunferencia del propio aro.

[[Imagen:F1_GIA_aro_con_deslizador_base_ruleta.png|right]]
La figura muestra la base y la ruleta del movimiento {21}. En cada instante, el C.I.R. del movimiento está en el punto de tangencia de las dos curvas. El movimiento {21} puede visualizarse como la ruleta rodando sin deslizar sobre la base.

[[Categoría: Problemas de movimiento plano]]

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