Pedro: Página creada con «== Enunciado == right Tenemos un aro homogéneo de masa $M$ y radio $R$ con centro $O$ . Se escogen los ejes coordenadas como se indica en la figura. #Calcula la matriz de inercia en $O$ , usando los ejes indicados en la figura. #Calcula el momento de inercia respecto a un eje que pasa por $O$ y forma un ángulo de $\pi/3$ con el eje $OX_3$ . #El aro gira…»

2023-10-17T14:50:29Z

Página creada con «== Enunciado == right Tenemos un aro homogéneo de masa <math>M</math> y radio <math>R</math> con centro <math>O</math>. Se escogen los ejes coordenadas como se indica en la figura. #Calcula la matriz de inercia en <math>O</math>, usando los ejes indicados en la figura. #Calcula el momento de inercia respecto a un eje que pasa por <math>O</math> y forma un ángulo de <math>\pi/3</math> con el eje <math>OX_3</math>. #El aro gira…»

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== Enunciado ==
[[Imagen:MR_inercia_eje_enunciado.png|right]]
Tenemos un aro homogéneo de masa <math>M</math> y radio <math>R</math> con centro <math>O</math>. Se escogen los ejes coordenadas como se indica en la figura.
#Calcula la matriz de inercia en <math>O</math>, usando los ejes indicados en la figura.
#Calcula el momento de inercia respecto a un eje que pasa por <math>O</math> y forma un ángulo de <math>\pi/3</math> con el eje <math>OX_3</math>.
#El aro gira alrededor del eje anterior con un vector rotación <math>\vec{\omega} </math> paralelo al eje. Calcula el momento cinético en <math>O </math> y la energía cinética del aro.

== Solución ==

=== Tensor de inercia ===
La forma general del tensor de inercia en un punto es
<center>
<math>
\overleftrightarrow{I_O}
=
\left[
\begin{array}{ccc}
I_{11} & -P_{12} & -P_{13}\\
-P_{12} & I_{22} & -P_{23}\\
-P_{13} & -P_{23} & I_{33}
\end{array}
\right]
</math>
</center>
Ya hemos usado que el tensor es simétrico. Vamos a calcular primero los elementos no diagonales.

Tenemos
<center>
<math>
P_{13} = \int\mathrm{d}m\,x_1x_3=0
</math>
</center>
Esta integral se anula porque para todos los puntos del aro se cumple <math> x_3=0 </math>. Por la misma razón tenemos
<center>
<math>
P_{23} = \int\mathrm{d}m\,x_2x_3=0
</math>
</center>
Para el otro producto de inercia
<center>
<math>
P_{12} = \int\mathrm{d}m\,x_1x_2 =
\int\mathrm{d}m (R\cos\theta)(R\,\mathrm{sen}\,\theta)
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\mathrm{d}m = \dfrac{M}{2\pi R}\,R\mathrm{d}\theta
</math>
</center>
por lo que
<center>
<math>
P_{12} = \int\limits_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \dfrac{MR}{2\pi}\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta
=
\dfrac{MR}{4\pi} \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \,\mathrm{sen}\,(2\theta)
=0
</math>
</center>
Los tres productos de inercia son cero. Este resultado se puede obtener sin hacer cuentas con argumentos de simetría. Al ser el aro un sólido plano, el eje <math>X_3 </math> es principal de inercia, pues es perpendicular al plano del sólido. Y como el aro tiene simetría de revolución alrededor de <math>X_3 </math>, todas las direcciones perpendiculares a <math>X_3 </math> que pasen por <math>O </math> son principales de inercia, en particular <math>X_1 </math> y <math>X_2 </math>. Entonces, el tensor de inercia es diagonal respecto a los tres ejes indicados.

Vamos con los momentos de inercia. Al ser un sistema plano tenemos
<center>
<math>
I_{33} = I_{11} + I_{22}
</math>
</center>
Y por la simetría del aro tenemos
<center>
<math>
I_{11} = I_{22}\Longrightarrow I_{11} = I_{22} = \dfrac{1}{2}I_{33}
</math>
</center>
Basta entonces con calcular <math>I_{33} </math>.
<center>
<math>
I_{33} ) \int\mathrm{d}m\,(x_1^2+x_2^2) =
\int\mathrm{d}m R^2=
R^2\int\mathrm{d} m =
MR^2
</math>
</center>
Todos los puntos están a la misma distancia del eje <math>X_3 </math>, el radio del aro <math>R </math>. Y la integral que queda es la masa total del aro.

Entonces el tensor de inercia en <math>O </math> es
<center>
<math>
\overleftrightarrow{I_O}
=
I
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]
</math>
</center>
con
<center>
<math>
I = \dfrac{1}{2}M R^2
</math>
</center>

=== Momento de inercia respecto a un eje ===
Conocido el tensor de inercia, el momento de inercia respecto a un eje <math>\Delta </math> que pase por el punto es
<center>
<math>
I_{\Delta}
=
\vec{n}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{n}
</math>
</center>
donde <math>\vec{n} </math> es un vector unitario en la dirección del eje <math>\Delta </math>.

Por simetría, podemos considerar que el eje <math>\Delta </math> está en el plano <math>X_2X_3 </math>. El resultado no debe cambiar si giramos el eje alrededor de <math>X_3 </math>. Entonces el vector <math>\vec{n} </math> es
<center>
<math>
\vec{n} = [0, \mathrm{sen}\,(\pi/3), \cos(\pi/3)]
=
[0, \sqrt{3}/2, 1/2]
</math>
</center>
El momento de inercia pedido es
<center>
<math>
I_{\Delta} =
I[0, \sqrt{3}/2, 1/2]
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\sqrt{3}/2 \\
1/2
\end{array}
\right]
=
I[0, \sqrt{3}/2, 1/2]
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\sqrt{3}/2 \\
1
\end{array}
\right]=
I\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}\right)
=
\dfrac{5}{4}I=
\dfrac{5}{8}MR^2
</math>
</center>

=== Momento cinético en la rotación ===
El vector rotación puede escribirse <math>\vec{\omega}=\omega\vec{n} </math> siendo <math>\vec{n} </math> el vector unitario paralelo al eje del apartado anterior. Al se <math>O </math> un punto fijo, el momento cinético es
<center>
<math>
\vec{L}_O = \overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{\omega} =
I
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\sqrt{3}\omega/2 \\
\omega/2
\end{array}
\right]
=
I\omega
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\sqrt{3}/2 \\
1
\end{array}
\right]
</math>
</center>
Podemos ver que el momento cinético <math>\vec{L}_O </math> y el vector rotación no son paralelos. El ángulo que forman es
<center>
<math>
\cos\alpha = \dfrac{\vec{L}_O\cdot\vec{\omega}}{|\vec{L}_O||\vec{\omega}|}
=
\dfrac{5}{2\sqrt{7}}
</math>
</center>
Por tanto el eje no es dirección principal de inercia

La energía cinética es, al ser <math>O </math> un punto fijo
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{\omega}
=
\dfrac{\omega^2}{2}\vec{n}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{n}
=
\dfrac{1}{2}I_{\Delta}\omega^2
=
\dfrac{5}{16}MR^2\omega^2
</math>
</center>

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