Pedro en 14:37 30 nov 2023

2023-11-30T14:37:51Z

← Revisión anterior		Revisión del 16:37 30 nov 2023
Línea 1:		Línea 1:
	= Enunciado =		= Enunciado =
	~~==[[Aparcamiento de un vehículo (MRGIC) \| Aparcamiento de un vehículo]]==~~
	[[Archivo:Placa coche.png\|sinmarco\|derecha]]		[[Archivo:Placa coche.png\|sinmarco\|derecha]]
	La maniobra de aparcamiento de un vehículo se puede modelar (despreciando la energía cinética de las ruedas) mediante una placa rectangular homogénea <math>ABCD</math> de masa <math>m</math> y dimensiones <math>a\times b</math> (sólido "2"), que se mueve en el plano horizontal fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido "1"). Dicho movimiento consiste en que mientras el vértice <math>A</math> se desplaza sobre el eje fijo <math>O_1X_1</math>, el vértice contiguo <math>B</math> persigue a <math>A</math> de modo que la velocidad <math>\vec{v}^B_{21}</math> es colineal en todo instante con el lado <math>AB</math>. Además, la acción del motor se modela con una única fureza activa conocida <math>\vec{F}=F(t)\,\vec{\imath}_2</math>, aplicada en el centro de masas <math>G</math> de la placa.		La maniobra de aparcamiento de un vehículo se puede modelar (despreciando la energía cinética de las ruedas) mediante una placa rectangular homogénea <math>ABCD</math> de masa <math>m</math> y dimensiones <math>a\times b</math> (sólido "2"), que se mueve en el plano horizontal fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido "1"). Dicho movimiento consiste en que mientras el vértice <math>A</math> se desplaza sobre el eje fijo <math>O_1X_1</math>, el vértice contiguo <math>B</math> persigue a <math>A</math> de modo que la velocidad <math>\vec{v}^B_{21}</math> es colineal en todo instante con el lado <math>AB</math>. Además, la acción del motor se modela con una única fureza activa conocida <math>\vec{F}=F(t)\,\vec{\imath}_2</math>, aplicada en el centro de masas <math>G</math> de la placa.

Pedro: /* Ecuaciones de movimiento */

2023-11-29T12:10:43Z

Ecuaciones de movimiento

← Revisión anterior		Revisión del 14:10 29 nov 2023
Línea 157:		Línea 157:
	</math>		</math>
	</center>		</center>
			[[Categoría:Problemas de mecánica analítica]]
			[[Categoría:Problemas de Dinámica Analítica]]

Pedro: Página creada con «= Enunciado = == Aparcamiento de un vehículo== derecha La maniobra de aparcamiento de un vehículo se puede modelar (despreciando la energía cinética de las ruedas) mediante una placa rectangular homogénea $ABCD$ de masa $m$ y dimensiones $a\times b$ (sólido "2"), que se mueve en el plano horizontal fijo $O_1X_1Y_1$ (sólido "1"). Dicho movim…»

2023-11-29T12:09:26Z

Página creada con «= Enunciado = == Aparcamiento de un vehículo== sinmarco|derecha La maniobra de aparcamiento de un vehículo se puede modelar (despreciando la energía cinética de las ruedas) mediante una placa rectangular homogénea <math>ABCD</math> de masa <math>m</math> y dimensiones <math>a\times b</math> (sólido "2"), que se mueve en el plano horizontal fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido "1"). Dicho movim…»

Página nueva

= Enunciado =
==[[Aparcamiento de un vehículo (MRGIC) | Aparcamiento de un vehículo]]==
[[Archivo:Placa coche.png|sinmarco|derecha]]
La maniobra de aparcamiento de un vehículo se puede modelar (despreciando la energía cinética de las ruedas) mediante una placa rectangular homogénea <math>ABCD</math> de masa <math>m</math> y dimensiones <math>a\times b</math> (sólido "2"), que se mueve en el plano horizontal fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido "1"). Dicho movimiento consiste en que mientras el vértice <math>A</math> se desplaza sobre el eje fijo <math>O_1X_1</math>, el vértice contiguo <math>B</math> persigue a <math>A</math> de modo que la velocidad <math>\vec{v}^B_{21}</math> es colineal en todo instante con el lado <math>AB</math>. Además, la acción del motor se modela con una única fureza activa conocida <math>\vec{F}=F(t)\,\vec{\imath}_2</math>, aplicada en el centro de masas <math>G</math> de la placa.
# Demuestra que los parámetros geométricos <math>x</math> y <math>\theta</math> verifican en todo instante la relación <math>\dot{x}\sen\theta + a\dot\theta = 0</math>.
# Encuentra la expresión de la energía cinética <math>T</math>.
# Verifica que el vínculo del primer apartado es integrable y, trabajando con una sola coordenada generalizada, obtén las ecuaciones de movimiento del sistema mecánico descrito.

= Solución =

== Cinemática y vínculo ==
La velocidad de rotación de la placa y la velocidad de su punto <math>A </math> son
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
Aparecen dos coordenadas en la reducción cinemática, <math>\{x, \theta\} </math>. Sin embargo, aún no hemos aplicado la ligadura que obliga al punto <math>B </math> a moverse de modo que su velocidad apunte siempre hacia el punto <math>A </math>. Tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}.
</math>
</center>
El vector geométrico es
<center>
<math>
\overrightarrow{AB} = -a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{21} = (\dot{x} + a\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 + a\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
</math>
</center>
Imponemos ahora que <math>\vec{v}^{\,B}_{21} </math> y <math>\overrightarrow{AB} </math>. Deben ser paralelos. Una forma es hacer su producto vectorial e igualarlo a cero. Otra forma, equivalente, es imponer que sus componentes sean proporcionales. Es decir
<center>
<math>
\dfrac{\dot{x} + a\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta}{-a\cos\theta}
=
\dfrac{a\dot{\theta}\cos\theta}{a\,\mathrm{sen}\,\theta}
\Longrightarrow
\dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta + a\dot{\theta} = 0.
</math>
</center>
Este vínculo es cinemático e integrable, esto es, es holónomo. Podemos integrarlo como sigue
<center>
<math>
\dot{x} = -a\dfrac{\dot{\theta}}{\mathrm{sen}\,\theta}
\Longrightarrow
\mathrm{d}x = -a\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{sen}\,\theta}
\Longrightarrow
\int\mathrm{d}x = -\int a\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{sen}\,\theta}
\Longrightarrow
x = -a\log(\tan\theta) + C,
</math>
</center>
donde <math>C </math> es una constante de integración que debe ser calculada a partir de una condición inicial.

Así pues, el sistema tiene sólo un grado de libertad. Usaremos la coordenada <math>\{\theta\} </math> para trabajar.

== Energía cinética ==
Calculamos la energía cinética usando el centro de masas, y usando que es un movimiento plano
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I|\vec{\omega}_{21}|^2.
</math>
</center>
Calculamos la velocidad en el centro de masas usando el Teorema de Chasles. En este caso es mas sencillo trabajar con la base del sólido "2".
<center>
<math>
\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG}
=
\left(\dot{x}\cos\theta + \dfrac{1}{2}b\dot{\theta}\right)\,\vec{\imath}_2
+
\left(\dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta + \dfrac{1}{2}a\dot{\theta}\right)\,\vec{\jmath}_2.
</math>
</center>
Aquí hemos usado que
<center>
<math>
\overrightarrow{AG} = -\dfrac{1}{2}a\,\vec{\imath}_2 + \dfrac{1}{2}b\,\vec{\jmath}_2,
</math>
</center>
y que
<center>
<math>
\vec{\imath}_1 = \cos\theta\,\vec{\imath}_2 + \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_2
</math>
</center>
para convertir la velocidad en <math>A </math> a la base 2.

El momento de inercia de una placa rectangular respecto a un eje perpendicular a ella que pase por su centro de masas es
<center>
<math>
I = \dfrac{1}{12}m\,(a^2 + b^2).
</math>
</center>
Entnoces, la energía cinética es, expresada en función de la coordenada <math>\theta </math>,
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{6}m\dot{\theta}^2\left(4a^2 + b^2 - 3ab\dfrac{\cos\theta}{\mathrm{sen}\,\theta} + \dfrac{3a^2}{\mathrm{sen}^2\theta}\right).
</math>
</center>

== Ecuaciones de movimiento ==
El centro de masas de la placa está siempre a la misma altura. Entonces, la energía potencial gravitatoria es constante y no tiene influencia en el problema. Podemos elegir que su valor sea nulo. La función de Lagrange es
<center>
<math>
L = T - U = \dfrac{1}{6}m\dot{\theta}^2\left(4a^2 + b^2 - 3ab\dfrac{\cos\theta}{\mathrm{sen}\,\theta} + \dfrac{3a^2}{\mathrm{sen}^2\theta}\right).
</math>
</center>
Hay una fuerza no conservativa actuando en el centro de masas
<center>
<math>
\vec{F} = F\,\vec{\imath}_2.
</math>
</center>
Entonces, la ecuación de Lagrange es
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right)
-
\dfrac{\partial L}{\partial \theta} = Q_{\theta}^{NC}.
</math>
</center>
La fuerza generalizada no conservativa es
<center>
<math>
Q^{NC}_{\theta} = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}^{\,G}_{21}}{\partial\dot{\theta}}
</math>
</center>
Hay que expresar la velocidad del centro de masas en términos del grado de libertad. Usando el vínculo cinemático que hemos encontrado antes tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,G}_{21}
=
\left(\dfrac{1}{2}b - a\cot\theta\right)\dot{\theta}\,\vec{\imath}_2
-
\dfrac{1}{2}a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_2.
</math>
</center>
La fuerza generalizada no conservativa es
<center>
<math>
Q^{NC}_{\theta} = F\,\left(\dfrac{1}{2}b - a\cot\theta\right).
</math>
</center>
Finalmente, la ecuación diferencial de movimiento es
<center>
<math>
\left(4a^2 + b^2 - 3ab\cot\theta + \dfrac{3a^2}{\mathrm{sen}^2\theta}\right)\,\ddot{\theta}
+
\dfrac{3}{2}\,\left(ab - 2a^2\cot\theta\right)\dfrac{\dot{\theta}^2}{\mathrm{sen}^2\theta}
=
\dfrac{3F}{2m}\,(b - 2a\cot\theta).
</math>
</center>

Aparcamiento de un vehículo (MRGIC) - Historial de revisiones

Pedro en 14:37 30 nov 2023

Pedro: /* Ecuaciones de movimiento */