Antonio: Página creada con «==Enunciado== Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo. ==Solución== Construimos un sistema de referencia con origen en un vértice del cubo y con ejes los definidos por las tres aristas contiguas. Una de las diagonales es la que va del origen al vértice opuesto $O(0,0,0)\qquad A(b,b,b)\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{AB}=b\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+b\vec{k}$ Otra de las diagonales es la que une otro par de vért…»

2023-09-22T10:00:20Z

Página creada con «==Enunciado== Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo. ==Solución== Construimos un sistema de referencia con origen en un vértice del cubo y con ejes los definidos por las tres aristas contiguas. Una de las diagonales es la que va del origen al vértice opuesto <center><math>O(0,0,0)\qquad A(b,b,b)\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{AB}=b\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+b\vec{k}</math></center> Otra de las diagonales es la que une otro par de vért…»

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==Enunciado==
Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.

==Solución==
Construimos un sistema de referencia con origen en un vértice del cubo y con ejes los definidos por las tres aristas contiguas.

Una de las diagonales es la que va del origen al vértice opuesto

<center><math>O(0,0,0)\qquad A(b,b,b)\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{AB}=b\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+b\vec{k}</math></center>

Otra de las diagonales es la que une otro par de vértices opuestos

<center><math>B(b,0,0)\qquad C(0,b,b)\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{BC}=-b\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+b\vec{k}</math></center>

<center>[[Archivo:cubo-diagonal.png]]</center>

El coseno del ángulo que forman lo calculamos a partir del producto escalar

<center><math>\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|}</math></center>

El módulo de ambos vectores vale lo mismo

<center><math>\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{b^2+b^2+b^2}=b\sqrt{3}</math></center>

y su producto escalar vale

<center><math>\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}=b\cdot(-b) + b\cdot b +b\cdot b=b^2</math></center>

lo que nos da

<center><math>\cos(\alpha)=\frac{b^2}{3b^2}=1/3</math></center>

y de aquí hallamos el ángulo

<center><math>\alpha=\arccos\left(\frac{1}{3}\right)=1.23\,\mathrm{rad}=70.5\,^\circ</math></center>
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