Pedro: Página creada con «==Enunciado== Dada una circunferencia de centro $O$ y radio $R$ , y un diámetro $\overline{AB}$ cualquiera, demuestre que las cuerdas $\overline{PA}$ y $\overline{PB}$ se cortan perpendicularmente,para todo punto $P$ perteneciente a la circunferencia (arco capaz de $90^o$ ). == Solución== right Siguiendo la figura podemos definir los vectores asociados a las c…»

2023-09-26T09:33:58Z

Página creada con «==Enunciado== Dada una circunferencia de centro <math>O</math> y radio <math>R</math>, y un diámetro <math>\overline{AB}</math> cualquiera, demuestre que las cuerdas <math>\overline{PA}</math> y <math>\overline{PB}</math> se cortan perpendicularmente,para todo punto <math>P</math> perteneciente a la circunferencia (arco capaz de <math>90^o</math>). == Solución== right Siguiendo la figura podemos definir los vectores asociados a las c…»

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==Enunciado==
Dada una circunferencia de centro <math>O</math> y radio <math>R</math>, y un diámetro
<math>\overline{AB}</math> cualquiera, demuestre que las cuerdas
<math>\overline{PA}</math> y <math>\overline{PB}</math> se cortan perpendicularmente,para
todo punto <math>P</math> perteneciente a la circunferencia (arco capaz
de <math>90^o</math>).

== Solución==

[[Imagen:F1_GIA_b02_p05.png|right]]
Siguiendo la figura podemos definir los vectores asociados a las
cuerdas
<center><math>
\begin{array}{c}
\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OP}\\ \\
\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OP}
\end{array}
</math></center>
De la figura podemos observar que se cumple
<center><math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{BO} \\ \\
|\overrightarrow{AO}| = |\overrightarrow{BO}| = R\\ \\
|\overrightarrow{OP}| = R
\end{array}
</math></center>
Calculamos el producto escalar de los vectores definidos por la cuerdas
<center><math>
\begin{array}{ll}
\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}& =
(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP})\cdot(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OP})\\
&=\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BO}+
\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{BO}
\end{array}
</math></center>
El primer y el último término se anulan pues <math>\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{BO}</math> y
el producto escalar es conmutativo. Queda entonces
<center><math>
\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=
\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OP}=
-|\overrightarrow{AO}|^2 + |\overrightarrow{OP}|^2 = -R^2 + R^2 = 0.
</math></center>
Con lo cual queda demostrado que las cuerdas son perpendiculares.

[[Categoría:Vectores libres|0]]
[[Categoría:Física I (G.I.A.)]]
[[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]]
[[Categoría:Física I (G.I.C.)]]

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