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Velocidad de escape

De Laplace

1 Enunciado

Se define la velocidad de escape de un campo gravitatorio como aquella que permite llegar al infinito con velocidad nula. Sabiendo que la energía potencial gravitatoria tiene la expresión

U(\vec{r})=-\frac{GMm}{|\vec{r}|}
  1. Determine la velocidad de escape que debe tener un cuerpo para salir de la superficie terrestre hacia el espacio exterior.
  2. Halle los valores numéricos para el caso de la superficie terrestre, la lunar y la marciana (consulte los datos de las masas en internet).

2 Solución

La velocidad de escape se define como la mínima velocidad que es preciso comunicar a un cuerpo ligero para salir del campo gravitatorio de otro masivo.

Esta velocidad mínima es la que permite llegar al infinito con velocidad nula. Una velocidad menor no permitiría salir del “pozo” de energía potencial gravitatoria.

La energía mecánica de una partícula en un campo gravitatorio es

E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}

Imponiendo que v\to 0 cuando r\to\infty queda

\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}=0   \Rightarrow   v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

Aquí r es la distancia de partida. En el caso de un cohete que parte de la superficie terrestre r = RT. El valor de GM lo podemos obtener del valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre

g = \frac{GM}{R_T^2}   \Rightarrow   v = \sqrt{2gR_T}\simeq 11.2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}

Esta es la velocidad necesaria para salir del campo gravitatorio terrestre. Aparte habrá que comunicarle la velocidad necesaria para enviarlo al destino deseado, teniendo en cuenta la energía potencial gravitatoria debida al Sol.

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