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Vector rotación de un punto recorriendo una circunferencia, Enero 2015 (F1 GIA)

De Laplace

1 Enunciado

2 Vector rotación de un punto recorriendo una circunferencia

Un punto material P se mueve recorriendo la circunferencia Γ, contenida en un plano Π, cuya ecuación paramétrica es


\Pi : \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OC} + \lambda\,\vec{a} + \mu\,\vec{b}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}

donde C es el centro de la circunferencia. Para describir analíticamente las magnitudes vectoriales se adopta un sistema de referencia cartesiano OXYZ, en el cual \vec{a} = 2\,\vec{\imath} - \vec{\jmath} y \vec{b} = \vec{\jmath} - \vec{k} , y la posición de C está determinada por el segmento orientado \overrightarrow{OC}=\vec{\jmath} + \vec{k} (con las componentes medidas en metros). En el instante inicial (t = 0), el punto móvil P ocupa la posición determinada por el segmento orientado \overrightarrow{OP}_0 = 2\,\vec{\jmath} . A partir de ésta, la partícula realiza un movimiento circular uniforme, con velocidad de 2\,\mathrm{m/s} . Determine el vector rotación instantánea \vec{\omega}_0 que caracteriza este movimiento circular.

3 Solución

El vector rotación es perpendicular al plano. El plano es paralelo a los vectores \vec{a} y \vec{b} , por lo que podemos encontrar un vector perpendicular al plano de módulo unidad usando el producto vectorial


\vec{n} = \dfrac{\vec{a}\times\vec{b}}{|\vec{a}\times\vec{b}|}
=
\dfrac{1}{3}\,\left(\vec{\imath} + 2\,\vec{\jmath} + 2\vec{k}\right)

El vector rotación es


\vec{\omega}_0 = |\vec{\omega}_0|\,\vec{n}

Obtenemos el módulo de \vec{\omega}_0 a partir de la rapidez de la partícula. Si C es el centro de la circunferencia y P es un punto cualquiera de ella, la velocidad de la partícula puede calcularse como


\vec{v} = \vec{\omega}_0\times\overrightarrow{CP}

Pero estos vectores son perpendiculares, por lo que el módulo de la velocidad es


|\vec{v}| = |\vec{\omega}_0| |\overrightarrow{CP}|

El radio de la circunferencia es R =|\overrightarrow{CP}| . Esto es cierto para cualquier punto de la circunferencia, en concreto para P0. Tenemos entonces


\overrightarrow{CP}_0 = \overrightarrow{OP}_0 - \overrightarrow{OC} = \vec{\jmath} - \vec{k}

y entonces


R = |\overrightarrow{CP}_0| = \sqrt{2}\,\mathrm{m}

El módulo del vector rotación es


|\vec{\omega}_0| = \dfrac{v}{R} = \dfrac{v}{|\overrightarrow{CP}_0|} = \sqrt{2}\,\mathrm{m/s}

Y el vector rotación es


\vec{\omega}_0 = |\vec{\omega}_0| \,\vec{n} =
\dfrac{\sqrt{2}}{3}\,\left( \vec{\imath} + 2\,\vec{\jmath} + 2\,\vec{k}\right)\,(\mathrm{s^{-1}})

Hay una ambigüedad en el sentido de \vec{omega}_0 . En el examen se aceptaban como válidos los dos posibles.

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