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Vector desplazamiento

De Laplace

Contenido

1 Ecuaciones de la electrostática en dieléctricos

Cuando se tienen en cuenta las densidades de carga de polarización las ecuaciones de la electrostática se escriben

\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho_p+\rho_l}{\varepsilon_0}        \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}\,

siendo

\rho_p=-\nabla\cdot\mathbf{P}\,

la densidad volumétrica de carga de polarización y ρl la densidad volumétrica de carga libre, esto es, aquella que no está asociada a la polarización del material.

En forma integral estas ecuaciones se escriben

\oint_{\partial\tau} \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q_p+Q_l}{\varepsilon_0}        \oint_\Gamma \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=0

siendo Qp y Ql la carga total de polarización y libre contenida en el volumen τ.

Cuando tanto las densidades de carga libre como la polarización del medio son cantidades conocidas, estas ecuaciones (junto con las correspondientes condiciones de salto y de contorno) permiten determinar completamente el campo eléctrico.

Sin embargo, lo habitual es que la polarización de un material no sea conocida de antemano, sino que sea provocada por la acción del campo eléctrico sobre el material (induciendo dipolos o rotando los ya existentes). Así pues, el campo eléctrico es simultáneamente causa y efecto de la polarización. En términos matemáticos, esto significa que las ecuaciones escritas arriba no son completas pues tanto \mathbf{E} como ρp son cantidades desconocidas.

Podemos eliminar formalmente la densidad de carga de polarización observando que la ley de Gauss se puede transformar de la manera siguiente:

\nabla\cdot\mathbf{E}=-\frac{\nabla\cdot\mathbf{P}}{\varepsilon_0}+\frac{\rho_l}{\varepsilon_0}   \Rightarrow   \nabla\cdot\left(\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}\right)=\rho_l

Si llamamos

\mathbf{D}\equiv\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}

la ley de Gauss queda simplemente

\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_l

A este campo vectorial \mathbf{D} se le denomina vector desplazamiento.

2 Definición del vector desplazamiento

Se define el vector desplazamiento eléctrico, \mathbf{D}, mediante la ecuación

\mathbf{D}\equiv\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}

El desplazamiento eléctrico es un campo vectorial que puede definirse en todos los puntos del espacio. En las regiones donde no haya medios materiales y por tanto la polarización sea nula, el desplazamiento es simplemente

\mathbf{P}=\mathbf{0}\,   \Rightarrow   \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}

De la definición se deduce que el vector desplazamiento tiene las mismas unidades que la polarización, esto es, se mide en C/m² (tiene unidades de densidad superficial de carga).

2.1 Fuentes del vector desplazamiento

Como todos los campos vectoriales, el vector desplazamiento posee tanto fuentes escalares como vectoriales

2.1.1 Fuentes escalares

Según hemos visto antes

\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_l

es decir, las fuentes escalares de \mathbf{D} son las densidades de carga libre.

2.1.2 Fuentes vectoriales

Tomando el rotacional en la definición

\nabla \times\mathbf{D}=\overbrace{\nabla\times\mathbf{E}}^{=\mathbf{0}}+\nabla\times\mathbf{P}=\nabla\times\mathbf{P}

hemos aplicado que el rotacional del campo eléctrico es cero, lo cual es cierto solo en electrostática. En situaciones dependientes del tiempo habrá que modificar esta ecuación.

Este resultado implica que el vector desplazamiento no es un campo irrotacional, como el campo electrostático (ni tampoco solenoidal). Posee fuentes vectoriales dependientes de la polarización, que por tanto no ha desaparecido del sistema, sino que ahora aparece en otro punto de las ecuaciones.

3 Ecuaciones en función de E y D

En lugar de usar las ecuaciones en términos exclusivamente del campo eléctrico o del vector desplazamiento, podemos escribir las ecuaciones de la electrostática en una forma mixta, más sencilla:

\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_l        \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}

y en forma integral

\oint_{\partial\tau}\mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=Q_l        \oint_\Gamma\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=0

4 Ejemplos de aplicación

5 Relaciones constitutivas

6 Densidad de corriente de desplazamiento

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