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Variación de la presión atmosférica

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

La presión atmosférica en un punto se debe al peso por unidad de superficie de la columna de aire situada sobre él. En un modelo de la atmósfera, se supone que la densidad del aire disminuye con la altura como

\rho(z) = \rho_0\mathrm{e}^{-\alpha z}\,

extendiéndose la altura hasta el infinito.

  1. Determine el peso del aire situado por encima de un cuadrado de lado L situado a una altura z0 sobre el nivel del mar. A partir de aquí halle como varía la presión atmosférica con la altura.
  2. Sabiendo que al nivel del mar la presión es de 101325 Pa y la densidad del aire es de 1.225 kg/m³, calcule el valor de la constante α.
  3. Usando esta fórmula halle el valor de la presión atmosférica en La Paz, situada a 3650 m de altitud.
  4. Halle el valor aproximado de la masa de aire de la atmósfera.

En todos los pasos, razone los cálculos y justifique las aproximaciones que se hagan.

2 Presión en función de la altura

El peso de la columna de aire es proporcional a su masa. Su módulo es P = mg, por tanto se trata de hallar la masa de una columna de aire que se extiende desde la altura z0 hasta el infinito. Dado que conocemos la densidad, esta masa será igual a

\mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V\qquad\Rightarrow\qquad m = \int_V \rho\,\mathrm{dV}

Ahora bien, el volumen no es una sola variable, por lo que para poder calcular esta integral debemos reducirlo de forma que varíe una sola cantidad. La forma de hacerlo es muy similar al problema de la masa de una esfera. En este caso, teniendo en cuenta que la densidad depende solo de la altura, podemos dividir la columna en capas horizontales. Cada capa será un pequeño prisma de base L2 y altura dz de forma que

\mathrm{d}V = S\,h = L^2\,\mathrm{d}z

para cada una de estas capas la densidad es uniforme y su masa diferencial vale

\mathrm{d}m = \rho(z)\,\mathrm{d}V = \rho_0\mathrm{e}^{-\alpha z} L^2\,\mathrm{d}z

Llevando esto a la integral nos queda

m = \int_{z_0}^\infty \rho_0\mathrm{e}^{-\alpha z} L^2\,\mathrm{d}z

Este cálculo resulta en

m(z_0) = \left.-\frac{\rho_0 L^2}{\alpha}\mathrm{e}^{-\alpha z}\right|_{z_0}^\infty = \frac{\rho_0 L^2}{\alpha}\mathrm{e}^{-\alpha z_0}

La presión ejercida por esta columna vale entonces

p(z_0) = \frac{mg}{L^2}= \frac{\rho_0 g}{\alpha}\mathrm{e}^{-\alpha z_0}

esto es, decae, como la densidad, exponencialmente con la altura.

3 Constante α

Una vez que tenemos la dependencia de la presión con la altura, el resto es simplemente sustituir. A nivel del mar z0 = 0 y nos queda la igualdad

p_0 = \frac{\rho_0 g}{\alpha}

de donde podemos despejar la constante α

\alpha = \frac{\rho_0 g}{p_0} = \frac{(1.225\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3)(9.80665\,\mathrm{N}/\mathrm{kg})}{(101325\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^2}=1.19\times 10^{-5}\mathrm{m}^{-1}

La inversa de la contante α nos da la distancia media de decaimiento de la densidad, esto es, cuánto habría que subir en la atmósfera para que la densidad se reduzca en un factor 1/\mathrm{e} = 36.8\%.

\frac{1}{\alpha}= 8.43\,\mathrm{km}

Vemos que este modelo, con ser muy poco refinado, nos da una aproximación razonable para el espesor medio de la atmósfera. Aunque ésta se extiende del orden de 1000 km sobre la superficie terrestre, casi todo el aire se concentra en la troposfera, de unos 10 km de espesor.

4 Presión en La Paz

Conocido el valor de α podemos hallar el valor de la presión para cualquier altitud. La presión como función de la altura se puede escribir

p(z) = p_0\mathrm{e}^{-\alpha z}\,

Sustituyendo los datos

p = (101325\,\mathrm{Pa})\mathrm{e}^{-(1.19\times 10^{-5}\mathrm{m}^{-1})(3650\,\mathrm{m})}=65700\,\mathrm{Pa}

En términos de atmósferas, teniendo en cuenta que

p_0 = 101325\,\mathrm{Pa}=1\,\mathrm{atm}

queda que la presión en la Paz es de solo 0.64 atm.

5 Masa de la atmósfera

La presión a nivel del suelo nos da la el peso de una columna de aire situada sobre un punto. Para obtener la masa de la atmósfera simplemente multiplicamos la masa de esta columna por el área total de la superficie terrestre (supuesta una esfera perfecta)

M = \frac{p_0}{g}S = \frac{101325\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^2}{9.80665\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}}(4\pi\times (6.37\times 10^6\,\mathrm{m})^2)  \simeq 5.3\times10^{18}\,\mathrm{kg}

Por comparación, esto es aproximadamente una millonésima parte de la masa total del planeta.

Puede objetarse que al considerar la atmósfera completa, la superficie va aumentando, y que sería más correcto hallalr la masa empleando un modelo de capas como en el problema de la masa de la esfera. Sin embargo, no es necesario. La razón es que la mayor parte de la masa de la atmósfera ocupa una fina capa alrededor de la superficie terrestre, por lo que podemos suponer que en la práctica el radio terrestre (y su área) es el mismo para todos los puntos de la atmósfera.

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