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Tres superficies conductoras esféricas concéntricas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El sistema de la figura está formado por tres superficies conductoras esféricas concéntricas de espesor despreciable y radios a, a / 2 y a / 3. Las superficies de mayor y menor radio están conectadas por un hilo conductor, formando el conductor “1”, que puede conectarse a una fuente de potencial V0. Dicho hilo pasa a través de un orificio practicado en la superficie de radio a / 2 (conductor “2”), sin tocarla. Otro hilo conductor permite conectar esta superficie intermedia con la fuente de potencial V0 a trav\'{e}s de otro orificio existente en al superficie esférica exterior. El espesor de los hilos y el tamaño de los orificios son despreciables frente al tamaño de las superficies.

  1. Obtenga un circuito equivalente para el sistema de conductores descrito y calcule su matriz de coeficientes de capacidad.
  2. Estando el conductor “1” descargado, se conecta el “2” a la fuente de potencial. Determine la carga eléctrica que se localiza en este conductor y el potencial a que se encuentra el “1”.
  3. Posteriormente, el conmutador del sistema conecta la fuente al conductor “1”, desconectándola del “2”. Calcule las cargas y los potenciales en los conductores para esta nueva situación. Especifique la cantidad de carga almacenada en cada una de las caras de las tres superficies esféricas.
  4. Determine la energía suministrada por la fuente en los procesos descritos en los apartados anteriores.

2 Circuito equivalente y matriz de coeficientes de capacidad

En primer lugar insistiremos en la idea de que, aunque el sistema descrito está formado por tres superficies conductoras, éstas se hayan conectadas de forma que sólo hay dos conductores “activos”; es decir, que se pueden conectar a una fuente para cargarlos o fijar su valor de potencial. Por otra parte, como en el enunciado no se indica explícitamente que algún conductor esté conectado a tierra, la referencia para la medida del potencial electrostático estará en el infinito. Consideremos ambos conductores “1” y “2” cargados y/o conectados a fuentes, de manera que el potencial electrostático tendrá un valor \ V_2 en la superficie conductora intermedia de radio \ a/2, y un valor \ V_1 en las superficies exterior e interior, de radios \ a y \ a/3, respectivamente. Si, en general, estos valores son no nulos y distintos, habrá líneas de campo eléctrico entre la superficie exterior de la esfera de mayor radio (conductor 1) y el infinito. También habrá líneas de campo eléctrico en los espacios que hay entre las tres superficies conductoras, debido a la diferencia de potencial  \ \Delta V=V_1-V_2  que existe entre ellas.

El circuito equivalente estará formado por dos nodos (uno por cada conductor) y tierra. Entre ésta y el nodo “1” habrá una autocapacidad \overline{C}_{11} que modela las líneas de campo entre la superficie esférica de mayor radio y el infinito. En consecuencia, \overline{C}_{11} debe ser la capacidad eléctrica de una superficie conductora esférica de radio \ a. Además, dicha superficie apantalla completamente a la intermedia, impidienddo la existencia de líneas de campo entre el conductor “2”, por lo que la autocapacidad entre el nodo “2” y tierra es siempre nula. Se tendrá, por tanto:

\overline{C}_{11}=4\pi\varepsilon_0 a=C;       \overline{C}_{22}=0

La capacidad  \overline{C}_{12}  está ligada a la existencia de campo eléctrico entre los conductores “1” y “2” cuando éstos se hallan a diferente potencial. Su valor es la relación entre la cantidad parcial de carga eléctrica en estos conductores que se encuentra en influencia total, y la diferencia de potencial. Como el conductor “1” apantalla completamente al “2” la carga total  \ Q_2  en éste conductor está en influencia total con parte de la del conductor “1”; concretamente, la que se localiza en la cara exterior de la esfera de menor radio y en la cara interior de la superficie de radio mayor. También, la carga  \ Q_2  se reparte entre las caras interna y externa de la superficie conductora de radio  \ a/2 . De esta forma, se tendrá...

\displaystyle\overline{C}_{12}=\frac{Q_2}{V_2-V_1}=\frac{Q_2^\mathrm{int}}{V_2-V_1}+\frac{Q_2^\mathrm{ext}}{V_2-V_1}=C_\mathrm{esf}^\mathrm{int}+C_\mathrm{esf}^\mathrm{ext}

donde  C_\mathrm{esf}^\mathrm{int}  y  C_\mathrm{esf}^\mathrm{ext}  son las capacidades eléctricas de sendos condensadores esféricos: utilizando coordenadas esféricas y tomando como punto origen el centro común de las tres superficies conductoras,  C_\mathrm{esf}^\mathrm{int}  es la capacidad del condensador formado por la cara externa de la superficie  \ \Sigma:r=(a/3)^+  con la cara interna del conductor intermedio  \ \Sigma:r=(a/2)^- ; análogamente, la cara externa de este conductor,  \ \Sigma:r=(a/2)^+  y la interna del de mayor radio,  \ \Sigma:r=a^- , forman un condensador de capacidad C_\mathrm{esf}^\mathrm{ext} . Obsérvese que la anterior expresión indica que  \overline{C}_{12}  es la capacida equivalente de una asociación en parelelo de los condensadores esféricos descritos.

Teniendo en cuenta cuanto vale la capacidad de este tipo de condesadores en función de sus radios interior y exterior, se obtiene...

\left.\begin{array}{ll}\displaystyle C_\mathrm{esf}^\mathrm{int}=4\pi\varepsilon_0\ \frac{(a/2)(a/3)}{(a/2)-(a/3)}=4\pi\varepsilon_0a=C \\ \\ \displaystyle C_\mathrm{esf}^\mathrm{ext}=4\pi\varepsilon_0\ \frac{a(a/2)}{a-(a/2)}=4\pi\varepsilon_0a=C \end{array}\right\}     \Rightarrow     \overline{C}_{12}=C_\mathrm{esf}^\mathrm{int}+C_\mathrm{esf}^\mathrm{ext}=8\pi\varepsilon_0a=2C

Una vez obtenidos los parámetros del circuito equivalente, la matriz de coeficientes de capacidad se calcula de forma inmediata sin más que aplicar la relación de verifican estos coeficientes con las capacidades del circuito:

\left.\begin{array}{ll}\displaystyle C_{11}=\overline{C}_{11}+\overline{C}_{12}=12\pi\varepsilon_0a=3C\\ \\ \displaystyle C_{12}=C_{21}=-\overline{C}_{12}=-8\pi\varepsilon_0a=-2C\\ \\ \displaystyle C_{22}=\overline{C}_{12}+\overline{C}_{22}=8\pi\varepsilon_0a=2C
 \end{array}\right\}     \Rightarrow     \displaystyle\mathbf{C}
=C\left(\begin{array}{rr} 3 & -2 \\ \\ -2 &  2
\end{array}\right)\,\mbox{, con}\quad C=4\pi\varepsilon_0a

Como se sabe, esta matriz permite describir de forma general la relación general entre cargas y potenciales en los conductores del sistema:

\left(\begin{array}{c}Q_1\\ \\ Q_2\end{array}\right)=C\left(\begin{array}{rr} 3 & -2 \\ \\ -2 &  2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}V_1\\ \\ V_2\end{array}\right)

3 Cargas y potenciales en el estado (b)

Estando el sistema descargado, se conecta el conductor “2” al generador mientras el conductor “1” está aislado. Cuando el sistema alcanza el equilibrio, éste conductor permanacerá descargado,  \ Q_1=0 , mientras que el “2”, a potencial  \ V_2=V_0 , adquirirá una cierta cantidad de carga. Para determinar el valor de esta carga, así como el del potencial del conductor “1” sólo hay que tener en cuenta que los valores de cargas y potenciales en el sistema deben verificar la relación general antes indicada. Se obtiene así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que, una vez resuelta, proporciona los correspondientes valores de   \ V_1 y \ Q_2   en este estado:
\left.\begin{array}{c}0=C\left(3V_1-2V_0\right)\\ \\ Q_2=2C\left(-V_1+V_0\right)\end{array}\right\}     \Rightarrow      \begin{array}{c} \displaystyle  V_1=\frac{2}{3}\ V_0 \\ \\ \displaystyle Q_2=\frac{2}{3}\ C V_0 =\frac{8}{3}\pi\varepsilon_0aV_0\end{array}

4 Cargas y potenciales en el estado (c)

Con el sistema en el estado del apartado anterior, se activa el conmutador de la fuente de forma que ésta se conecta al conductor “1”, a la vez que el “2” queda aislado. En este caso, el valor del potencial se fija en el conductor “1”, \ V_1=V_0, mientras que el “2” permanece cargado con la cantidad de carga que adquirió en el apartado anterior,  \ Q_2=(2/3)CV_0, ya que el conmutador actúa de forma instantánea. De nuevo, la relación general carga--potencial del sistema permite plantear un sistema de ecuaciones del cual se obtienen los valores de las ahora incógnitas: la cantidad de carga adquirida por el conductor “1”  ,  \ Q_1, y el potencial electrostático en la superficie conductora “2”, \ V_2:
\left.\begin{array}{c}Q_1=C\left(3V_0-2V_2\right)\\ \\ \displaystyle
\frac{2}{3}\ CV_0=2C\left(-V_0+V_2\right)\end{array}\right\}     \Rightarrow      \begin{array}{c} \displaystyle Q_1=\frac{1}{3}\ C V_0 =\frac{4}{3}\pi\varepsilon_0aV_0  \\ \\ \displaystyle V_2=\frac{4}{3}\ V_0\end{array}

Determinemos ahora qué cantidad de carga se distribuye en cada una de las caras de las superficies conductoras del sistema. Como ya se indicó en el primer apartado, la carga  \ Q_2  se distribuirá en las caras interior y exterior de la superficie intermedia,  \ \Sigma: r=(a/2)^\pm; por su parte,  Q1  será la carga eléctrica depositada en la superficie de menor radio,  \ \Sigma: r=(a/3)^+  y en las caras exterior e interior de la de mayor radio,  \ \Sigma: r=a^\pm:

\begin{array}{l} Q_1=Q|_{r=(a/3)^+}+Q|_{r=a^-}+Q|_{r=a^+}\\ \\ Q_2=Q_2^\mathrm{ext}+Q_2^\mathrm{int}=Q|_{r=(a/2)^+}+Q|_{r=(a/2)^-}\end{array}

La relación entre estas cargas parciales y las diferencias de potencial entre los conductores del sistema (incluido el infinito) está determinada por las capacidades eléctricas de los condensadores descritos en el primer apartado. En el caso del condensador esférico formado entre los conductores de radios  \ a/3 y \ a/2, se tendrá:

\displaystyle C_\mathrm{esf}^\mathrm{int}=\frac{Q|_{r=(a/3)^+}}{V_1-V_2}=\frac{Q|_{r=(a/2)^-}}{V_2-V_1}=C

Y teniendo en cuenta cuáles son los valores del potencial en los conductores “1” y “2”, se obtiene el valor de las cargas en la cara exterior de la superficie de radio  \ a/3  y en la interior del conductor “2”, que serán cantidades opuestas:

\displaystyle Q|_{r=(a/2)^-}=-Q|_{r=(a/3)^+}=C\left(\frac{4}{3}V_0-V_0\right)     \Rightarrow     \displaystyle Q|_{r=(a/2)^-}=-Q|_{r=(a/3)^+}=\frac{1}{3}\ C V_0

Y como se conoce la cantidad total de carga en el conductor “2”, es fácil determinar la que hay en su cara exterior; asimismo, ésta se halla en influencia total con la cara interior de la superficie conductora de radio mayor, por lo que las cargas en  \ \Sigma: r=(a/2)^+  y en  \ \Sigma: r=a^-  serán opuestas:

\displaystyle Q|_{r=(a/2)^+}=Q_2-Q|_{r=(a/2)^-}=\frac{2}{3}\ C V_0-\frac{1}{3}\ C V_0      \Rightarrow       Q|_{r=(a/2)^+}=-Q|_{r=a^-}=\frac{1}{3}\ C V_0

Finalmente, la carga en la cara exterior de la superficie conductora de mayor radio se obtiene restándole a  \ Q_1  las cargas existentes en \ \Sigma: r=(a/3)^+  y en  \ \Sigma: r=a^-:

\displaystyle Q|_{r=a^+}=Q_1-Q|_{r=(a/3)^+}-Q|_{r=a^-}      \Rightarrow      Q|_{r=a^+}=CV_0

5 Energía suministrada por el generador

La energía electrostática de un sistema de dos conductores en equilibrio viene dada por la expresión...

\displaystyle U_e=\frac{1}{2} \left(Q_1V_1+Q_2V_2\right)

La energía suministrada por el generador en cada uno de los procesos correspondientes a los apartados (b) y (c) es igual al incremento sufrido por la energía electrostática del sistema al pasar del estado inicial al final. En el caso (b) consideraremos que, antes de conectar la fuente al conductor “2”, el sistema se hallaba descargado y la energía electrostática del estado inicial era nula (U_e^\mathrm{ini}=0). Por tanto, la energía suministrada por el generador será igual a la cantidad almacenada por el sistema para la configuración (b); es decir,  \ Q_1=0  y  \ V_2=V_0 :

\Delta W_\mathrm{gen}^\mathrm{(b)}=U_e^\mathrm{(b)}-U_e^\mathrm{ini}=\frac{1}{2} \left[Q_1V_1+Q_2V_2\right]_\mathrm{(b)}      \Rightarrow      \Delta W_\mathrm{gen}^\mathrm{(b)}=U_e^\mathrm{(b)}=\frac{1}{3}\ C V_0^2

En el proceso realizado en el apartado (c), la energía suministrada por el generador será la diferencia entre la energía electrostática correspondiente al estado caracterizado por  \ V_1=V_0  y  \ Q_2=(2/3)CV_0, y la energía electrostática del estado inicial, el cuál se corresponde con la situación del apartado (b):

U_e^\mathrm{(c)}=\frac{1}{2} \left[Q_1V_1+Q_2V_2\right]_\mathrm{(c)}=\frac{11}{18}\ C V_0^2      \Rightarrow      \Delta W_\mathrm{gen}^\mathrm{(c)}=U_e^\mathrm{(c)}-U_e^\mathrm{(b)}=\left(\frac{11}{18}-\frac{1}{3}\right) C V_0^2=\frac{5}{18}\ C V_0^2

La energía total suministrada por el generador será la suma de las empleadas en los dos procesos. Obviamente, dicha energía será igual a la que se almacena en el sistema tras los dos procesos:

\displaystyle \Delta W_\mathrm{gen}=\Delta W_\mathrm{gen}^\mathrm{(b)}+\Delta W_\mathrm{gen}^\mathrm{(c)}=\frac{11}{18}\ C V_0^2=U_e^\mathrm{(c)}

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