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Tres hilos paralelos (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se dispone de tres cables de cobre (\sigma=5.96\times 10^7 \mathrm{S}/\mathrm{m}) de 40m cada uno, dos de ellos de diámetro 1mm y el otro de diámetro 2mm (siendo la sección circular en los 3). Se conectan como indica el esquema, estando los hilos situados a una distancia de 20cm, con el más grueso en medio. El cable de unión entre los hilos puede considerarse un cortocircuito. La fuente de tensión conectada al hilo 1 fija un voltaje de 12V. Calcule…

  1. la intensidad de corriente y la densidad de corriente que circula por cada hilo.
  2. la potencia disipada en el sistema por efecto Joule
  3. el módulo del campo magnético en los puntos P y Q situados respectivamente en el punto medio entre los hilos 1 y 2, y entre los hilos 2 y 3.

2 Intensidad y densidad de corriente

La resistencia de cada cable es

R_2=\frac{\ell}{\sigma S}=\frac{40\,\mathrm{m}}{5.96\times 10^7\mathrm{S}/\mathrm{m}\times\pi\times (0.002\,\mathrm{m}/2)^2}=0.214\,\Omega=\frac{R_1}{4}

 

R_1=R_3=\frac{\ell}{\sigma S}=\frac{40\,\mathrm{m}}{5.96\times 10^7\mathrm{S}/\mathrm{m}\times\pi\times (0.001\,\mathrm{m}/2)^2}=0.854\,\Omega=4R_2

Las resistencias 2 y 3 están en paralelo entre sí

R_{23}=\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}=\frac{4R_2^2}{5R_2}=\frac{4}{5}R_2=0.171\,\Omega

y esta está en serie con la 1

R_{123}=R_1+R_{23}=4R_2+\frac{4}{5}R_2=\frac{24}{5}R_2=1.03\,\Omega

2.1 Intensidad de corriente

La corriente que recorre el hilo 1 es toda la corriente

I_1=\frac{V_0}{R_{123}}=11.7\,\mathrm{A}

Esta corriente se reparte entre los hilos 2 y 3 de forma inversamente proporcional a su resistencia

I_2=\frac{R_3}{R_2+R_3}I_1=\frac{4}{5}I_1=9.36\,\mathrm{A}\qquad\qquad I_3=\frac{1}{5}I_1=2.34\,\mathrm{A}

2.2 Densidad de corriente

Cada intensidad de corriente se reparte uniformemente por su sección

J_1=\frac{I_1}{S_1}=\frac{11.7}{\pi\times (0.001\,\mathrm{m}/2)^2}=1.49\times 10^7\,\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}^2}

 

J_2=\frac{I_2}{S_2}=\frac{9.36}{\pi\times (0.002\,\mathrm{m}/2)^2}=2.98\times 10^6\,\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}^2}

 

J_2=\frac{I_2}{S_2}=\frac{2.34}{\pi\times (0.001\,\mathrm{m}/2)^2}=2.98\times 10^6\,\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}^2}

Vemos que las densidades den los cables 2 y 3 son iguales. la del cable 1 es la quinta parte de la del 2 y 3.

la densidades de corriente son vectores. En este caso, la densidad en 1 tiene el sentido de izquierda a derecha y en 2 y 3 de derecha a izquierda.

3 Potencia disipada

La potencia disipada por efecto Joule se puede calcular de diferentes maneras

P=\sum_i I_i^2 R_i\,

 

P=I_1^2 R_{123}\,

 

P=I_1V_1+I_2V_2+I_3V_3\,

El resultado es

P=I_1 V_0+0+0=140\,\mathrm{W}\,

4 Campo magnético

El campo magnético debido a un hilo rectilíneo de gran longitud es de la forma

\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\vec{u}_\theta

En este caso, si tomamos \vec{k} como el vector normal al plano de la figura y hacia afuera, el campo en P y Q será la suma de los campos debidos a cada hilo, con un signo dependiente de si va en el sentido +\vec{k} o -\vec{k}

4.1 En P

En P el campo de los tres hilos va en el sentido de -\vec{k}, por lo que

\vec{B}_P=\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\frac{I_1}{d_1}+\frac{I_2}{d_2}+\frac{I_3}{d_3}\right)(-\vec{k})=-2\times 10^{-7}\left(\frac{11.7}{0.1}+\frac{9.36}{0.1}+\frac{2.34}{0.3}\right)\vec{k} = -43.6\,\mu\mathrm{T}\vec{k}

En módulo

B_P=43.6\,\mu\mathrm{T}

4.2 En Q

En Q el campo de hilos 1 y 3 va en el sentido de -\vec{k}, pero el 2 va en el de +\vec{k} por lo que

\vec{B}_Q=\frac{\mu_0}{4\pi}\left(-\frac{I_1}{d_1}+\frac{I_2}{d_2}-\frac{I_3}{d_3}\right)\vec{k}=2\times 10^{-7}\left(-\frac{11.7}{0.3}+\frac{9.36}{0.1}-\frac{2.34}{0.1}\right)\vec{k} = +6.24,\mu\mathrm{T}\vec{k}

En módulo

B_Q=6.24\,\mu\mathrm{T}

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