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Tres cargas en un triángulo equilátero

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Tres cargas q1, q2 y q3, se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero de lado a = 1cm. Determine la fuerza sobre cada carga cuando:

  1. q_1=q_2=q_3 = 1\,\mu\mathrm{C}.
  2. q_1=q_2=q_3 = -1\,\mu\mathrm{C}.
  3. q_1=q_2=1\,\mu\mathrm{C}, q_3 = -1\,\mu\mathrm{C}.
  4. q_1=q_2=1\,\mu\mathrm{C}, q_3 = -2\,\mu\mathrm{C}.

2 Planteamiento

En cada caso, la fuerza sobre cada carga es la suma vectorial de las fuerzas que cada una de las otras cargas producen sobre ella.

\mathbf{F}_i = \sum_{k\neq i} \mathbf{F}_{ik}

A su vez, la fuerza entre dos cargas viene dada por la ley de Coulomb

\mathbf{F}_{21} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1q_2}{d_{12}^2}\mathbf{u}_{12}

3 Cargas iguales y positivas

En el primer caso, por la simetría del sistema, es evidente que las tres cargas van a estar sometidas a una fuerza de la misma magnitud (aunque de dirección y sentido distinto; esto es, las tres cargas no experimentan la misma fuerza).

A su vez la fuerza entre cada par de cargas tiene la misma magnitud, ya que las cargas son todas iguales, y también lo son las distancias entre ellas. Llamaremos a esta cantidad F0

F_0\equiv F_{ik}=\left|\mathbf{F}_{ik}\right| = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 a^2} \simeq 90\,\mathrm{N}

Para hallar la resultante sobre una de las cargas (a la que llamaremos “3”) observamos que \mathbf{F}_{31} y \mathbf{F}_{32} se encuentran sobre los lados de un rombo, formando un ángulo de π / 6 con su diagonal, que a su vez va en la dirección de la línea que pasa por el centro del triángulo y por la carga 3. La resultante viene dada por esta diagonal y tiene por módulo

Imagen:trescargaspositivas.png
F_3 = 2F_0\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}F_0 = \frac{\sqrt{3}q^2}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\simeq 156\,\mathrm{N}

en cuanto a su dirección y sentido, va en la dirección radial desde el centro de la carga.

Este razonamiento es válido para cada una de las cargas del triángulo. Las tres fuerzas tienen el mismo módulo y su dirección y sentido son radiales hacia afuera del triángulo.

Puede comprobarse que la suma vectorial de las tres fuerzas es nula, tanto geométricamente como analíticamente

\mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2+\mathbf{F}_3 = \left(\mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{13}\right) + \left(\mathbf{F}_{21}+\mathbf{F}_{23}\right) + \left(\mathbf{F}_{31}+\mathbf{F}_{32}\right) =

= \left(\mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{21}\right) + \left(\mathbf{F}_{13}+\mathbf{F}_{31}\right) + \left(\mathbf{F}_{23}+\mathbf{F}_{32}\right) = \mathbf{0} + \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}

4 Cargas iguales y negativas

Si las tres cargas en los vértices del triángulo son iguales pero negativas, el resultado es exactamente el mismo que en el apartado anterior.

Según la ley de Coulomb, cargas del mismo signo se repelen, siendo indiferente el que sean positivas o negativas. En el numerador de la ley aparece el producto de las cargas y (-q)\cdot(-q) = q\cdot q, por lo que la fuerza entre cada par de cargas, y su resultante será la misma que en el apartado anterior.

Imagen:trescargasnegativas.png

5 Cargas de la misma magnitud y distinto signo

Si tenemos dos cargas de un signo y una de otro, la fuerza será diferente no solo en dirección, sino también en módulo, para las distintas cargas.

Supongamos que la carga 3 es la negativa. Es claro que la fuerza que cada una de las cargas positivas produce sobre ella es igual que la que producirían sobre una carga positiva, salvo en su sentido (ahora es atractiva, donde antes era repulsiva). Por tanto, la resultante es la misma que en los dos apartados anteriores, salvo su sentido

F_3 = 2F_0\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}F_0 = \frac{\sqrt{3}q^2}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\simeq 156\,\mathrm{N}
Imagen:dosqpositivasunaqnegativa.png

Para cada uno de las dos cargas positivas tenemos un nuevo rombo, siendo la resultante ahora en la dirección y sentido de la diagonal menor, y siendo su módulo igual a la fuerza entre un par de cargas

F_3 = 2F_0\,\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{6}\right) = F_0 = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\simeq 90\,\mathrm{N}

6 Cargas de diferente magnitud y signo

En el último caso, la carga negativa tiene valor doble que las positivas.

La fuerza sobre la carga negativa 3 se ve duplicada, ya que tanto la fuerza \mathbf{F}_{31} como \mathbf{F}_{32} se multiplican por dos.

F_3 = 2 \sqrt{3}F_0 = \frac{2\sqrt{3}q^2}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\simeq 312\,\mathrm{N}
Imagen:trescargasdiferentes.png

Para las cargas positivas, una sencilla construcción, adosando triángulos equiláteros, permite ver que la fuerza sobre cada una de ellas es paralela a la fuerza \mathbf{F}_3 y de módulo

F_1 = F_2 = \sqrt{3}F_0 = \frac{\sqrt{3}q^2}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\simeq 156\,\mathrm{N}

Por supuesto, los cálculos de todos los apartados se pueden hacer eligiendo un sistema de ejes y empleando componentes, pero como se ve en esta solución, no es necesario.

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