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Transferencia reversible de calor

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tienen dos recipientes adiabáticos conteniendo 500 g de agua cada uno, a 0°C y 100°C respectivamente.

  1. Se ponen en contacto a través de una pared diaterma. Halle:
    1. La temperatura final del agua.
    2. La cantidad de calor transferida.
    3. La variación de entropía en el proceso.
  2. Suponga ahora que el contacto térmico no se hace directamente sino a través de una máquina térmica reversible que usa los recipientes como foco caliente y foco frío. Teniendo en cuenta que todos los procesos son reversibles
    1. Halle la temperatura final del agua
    2. Calcule el calor cedido por el agua caliente y el absorbido por el agua fría
    3. Determine el trabajo que se puede extraer del sistema.

2 Contacto directo

En el primer proceso tenemos una transferencia de calor del foco caliente al foco frío sin producción alguna de trabajo. Todo el calor que cede el foco caliente lo absorbe el foco frío.

2.1 Temperatura final

Puesto que el único intercambio de calor es interno

0 = Q = mc(T_f-T_1) + mc(T_f-T_0)\,   \Rightarrow   T_f = \frac{T_1+T_0}{2} = 50\,^\circ\mathrm{C}

2.2 Calor transferido

El calor que cede el foco caliente es

Q_1 = mc(T_f-T_1) = -500\,\mathrm{g}\cdot\left(1\,\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}}\right)(-50\,\mathrm{K}) = -25\,\mathrm{kcal}

Este calor es negativo puesto que sale del sistema. la misma cantidad de calor entra en el foco frío.

2.3 Variación de entropía

La variación de entropía será la suma de lo que cambia la del agua aclaiente más lo que lo hace la del agua fría. El resultado es


\Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = mc\ln\left(\frac{T_f}{T_1}\right)+ mc\ln\left(\frac{T_f}{T_0}\right) = mc\ln\left(\frac{T_f^2}{T_0T_1}\right)

Sustituyendo los valores numéricos

\Delta S = 500 \ln\left(\frac{323.15^2}{273.15\cdot 373.15}\right)\,\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{K}} = 12.13\,\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{K}}

Esa variación es positiva, lo que indica que el proceso es posible e irreversible.

3 Contacto reversible

3.1 Temperatura final

Lo que caracteriza a un conjunto de procesos reversibles es que en cada uno de ellos la variación de entropía es nula. Por ello, la ecuación que permite calcular la temperatura final es


0 = \Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = mc\ln\left(\frac{T_f}{T_1}\right)+ mc\ln\left(\frac{T_f}{T_0}\right) = mc\ln\left(\frac{T_f^2}{T_0T_1}\right)

y la temperatura final resulta ser la media geométrica de las dos temperaturas intermedias (antes era la media aritmética)

T_f = \sqrt{T_0T_1} = 319.26\,\mathrm{K} = 46.11^\circ\mathrm{C}

Esta temperatura es inferior a la calculada anteriormente porque en un proceso reversible no todo el calor del foco caliente va a parar al frío, sino que parte se emplea en producir trabajo.

3.2 Calor intercambiado

El calor cedido por el foco caliente es

Q_1 = mc(T_f-T_1) = 500(46.1-100.0)\,\mathrm{cal}=-26.9\,\mathrm{kcal}

y el calor absorbido por el foco frío

Q_0 = mc(T_f-T_0) = 500(46.1-0.0)\,\mathrm{cal} = +23.1\,\mathrm{kcal}

3.3 Trabajo realizado

El trabajo realizado en este proceso es la diferencia entre el calor cedido y el absorbido

|W| =  |Q_1|-|Q_0|  = 3.89\,\mathrm{kcal} = 16.3\,\mathrm{J}

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