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Trabajo para cuatro cargas en un cuadrado

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Cuatro cargas puntuales se sitúan en los vértices de un cuadrado de lado a. Dos de ellas, situadas en vértices adyacentes, son de valor + q, mientras que las otras dos valen q.

Calcule el trabajo para reunir esta distribución de cargas.

Suponga que una de las cargas positivas se intercambia con la negativa situada en el vértice opuesto, ¿qué trabajo hay que realizar para esta operación?

Si la carga positiva se permuta con la negativa situada en el vértice vecino, ¿cuál será en este caso, el trabajo realizado?

2 Trabajo para reunir las cuatro cargas

Podemos calcular el trabajo de dos formas equivalentes: hallar el trabajo a partir de un proceso arbitrario que las lleva del infinito a su posición final, o bien a partir de la variación en la energía almacenada.

2.1 Proceso de reunión

Si colocamos las cargas una a una en sus posiciones finales, trayéndolas desde el infinito, los sucesivos trabajos individuales son:

  • Para traer la primera carga positiva, el trabajo es nulo:
W_1 = 0\,
  • Para traer la segunda carga positiva debemos vencer la repulsión de la primera
W_2= q_2\phi_1(\mathbf{r}_2) = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0a}
  • La primera carga negativa es atraída por las dos previas, por lo que el trabajo correspondiente es negativo
W_3= q_3\left(\phi_1(\mathbf{r}_3)+\phi_2(\mathbf{r}_3)\right) = \frac{
-q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{a}+\frac{q}{\sqrt{2}a}\right)=-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0a}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
  • La cuarta carga es atraída por las dos primeras y repelida por la tercera
W_4=  \frac{
-q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{\sqrt{2}a}+\frac{q}{a}-\frac{q}{a}\right)=-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{2}a}

Sumando las cuatro contribuciones hallamos el trabajo total

W=\sum_{i=1}^4 W_i=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0a}\left(0+1-\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{\sqrt{2}q^2}{4\pi\varepsilon_0a}

3 Trabajo para permutar cargas opuestas

4 Trabajo para permutar cargas contiguas

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