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Tipos de movimientos rígidos

De Laplace

Contenido

1 Campo de velocidades

Cuando un sólido se mueve, cada uno de sus puntos lo hará, en principio, con una velocidad diferente. Tenemos entonces que la distribución de velocidades forma un campo vectorial

\vec{v}=\vec{v}(\vec{r})

La velocidad de cada punto es un vector ligado a dicho punto y por tanto carece de sentido hablar de la “velocidad de un sólido”, como si fuera algo único. Podremos hablar de la velocidad de un punto del sólido, o, en su caso, de la velocidad de su centro de masas, pero no de la velocidad del sólido como un todo.

De acuerdo con el modelo de sólido ideal, podemos suponer esta distribución de velocidades como extendida a todo el espacio. En un sólido real, \vec{v}(\vec{r}) solo tendrá significado en aquellos puntos en que haya partículas materiales.

La condición de rigidez impone limitaciones a las posibles distribuciones de velocidades. Solo aquellos movimientos que preservan las distancias entre los puntos son admisibles. Estos movimientos posibles se conocen como movimientos rígidos.

Puede demostrarse que la forma más general del campo de velocidades de un sólido (según el Teorema de Chasles) es

\vec{v}(\vec{r})=\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}

siendo \vec{v}_0 y \vec{\omega} dos vectores independientes de la posición (pero no del tiempo, no son constantes en general). Aquí \vec{r} es la posición respecto a un cierto punto O que tomamos como origen de coordenadas.

  • Al vector \vec{\omega} se le conoce como velocidad angular (instantánea) o vector rotación del sólido. Más adelante se le da una interpretación geométrica.
  • En principio \vec{v}_0 es una cantidad que resulta de la solución de las ecuaciones y que no tendría por qué tener un significado físico. No obstante, es evidente que coincide con la velocidad instantánea del origen de coordenadas \vec{r}=\vec{0}, lo que justifica su notación.

Es inmediato comprobar que esta expresión del campo de velocidades satisface la condición cinemática de rigidez. Si A y B son dos puntos cualesquiera del sólido:

\left\{\begin{matrix}\vec{v}_A & = & \vec{v}(\vec{r}_A) = \vec{v}_0 + \vec{\omega}\times\vec{r}_A\\ \vec{v}_B & = & \vec{v}(\vec{r}_B) = \vec{v}_0 + \vec{\omega}\times\vec{r}_B\end{matrix}\right.   \Rightarrow   \vec{v}_B-\vec{v}_A  = \vec{\omega}\times(\vec{r}_B-\vec{r}_A) = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}   \Rightarrow    (\vec{v}_{B}-\vec{v}_A)\cdot(\vec{r}_{B}-\vec{r}_A)=0

De esta prueba vemos que el punto que tomemos como referencia no tiene nada de espacial. La expresión que hemos dado puede también escribirse

\vec{v}_P = \vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}

siendo

\overrightarrow{OP}=\vec{r}_P

el vector de posición del punto P respecto al origen de coordenadas. Si ahora consideramos en lugar del punto O, un punto A diferente tenemos, por el resultado anterior

\vec{v}_{P}-\vec{v}_A=\vec{\omega}\times(\vec{r}_P-\vec{r}_A)=\vec{\omega}\times\overrightarrow{AP}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}_P=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AP}

que es completamente análoga a la anterior, sustituyendo O por A y cambiando la velocidad correspondiente.

Por tanto, el campo de velocidades queda completamente definido cuando la velocidad de un punto cualquiera A, \vec{v}_A y la velocidad angular del sólido, que es la misma para todos. Al par \{\vec{v}_A,\omega\} se denomina la reducción del campo de velocidades en el punto A (al cual se denomina centro de reducción)

En particular, el punto A puede ser la posición del centro de masas y tenemos la relación correspondiente para posiciones y velocidades relativas al CM

\vec{v}_P=\vec{v}_C+\vec{\omega}\times(\vec{r}_P-\vec{r}_C)\qquad\qquad \vec{v}^{\,,}_P=\vec{\omega}\times\vec{r}^{\,,}_P

donde \vec{r}^{\,,}_P y \vec{v}^{\,,}_P representan la posición y la velocidad relativa al centro de masas

\vec{r}^{\,,}_P = \vec{r}_P-\vec{r}_C = \overrightarrow{CP}\qquad\qquad \vec{v}^{\,,}_{P}=\vec{v}_P-\vec{v}_C

Una consecuencia de la equivalencia de todos los puntos de referencia es que aunque la velocidad \vec{v}_0 es diferente según el punto que tomemos, la velocidad angular \vec{\omega} es la misma para todos los puntos de referencia.

El que el campo de velocidades quede descrito conociendo las tres componentes de \vec{v}_0= y las tres de \vec{\omega} se corresponde con el que el movimiento de un sólido rígido tenga 6 = 3+3 grados de libertad.

No es esta la única forma de determinar la velocidad de cada punto. También podemos dar la velocidad de tres puntos no colineales del sólido (9 datos), sometidos a los 3 vínculos de que las distancias entre ellos permanecen constantes.

Un aspecto hay que remarcar no una, sino cada vez que se emplea la fórmula anterior: está expresión sólo nos da la distribución de velocidades en un instante dado. Nos da una instantánea del movimiento. Pero, dado que \vec{v}_0 y \vec{\omega} son funciones del tiempo, la fórmula no nos dice dónde van a estar las partículas un intervalo de tiempo después. El movimiento de un sólido puede ser extremadamente complicado.

2 Estado de reposo

El caso más simple de estado de movimiento es el que tiene

\vec{v}_0 = \vec{0}        \vec{\omega}=\vec{0}

En este caso todos los puntos del sólido se encuentran en reposo:

\vec{v}(\vec{r}) = \vec{0}\qquad \forall \vec{r}

Equivalentemente, este estado se puede enunciar diciendo que si tres puntos no colineales de un sólido se encuentran en reposo, entonces todos los demás también están en reposo.

El estado de reposo puede ser

Instantáneo
Si la velocidad de todos los puntos se anula en un momento dado, para al instante siguiente dejar de ser nula.
Permanente
Si este estado se mantiene durante un cierto intervalo de tiempo.

3 Movimiento de traslación

Un movimiento de traslación se caracteriza porque (siendo \vec{v}_0\neq\vec{0}) la velocidad angular es nula:

\vec{\omega}=\vec{0}

En este caso, el campo de velocidades se reduce a

\vec{v}(\vec{r})=\vec{v}_0\qquad\qquad \forall\vec{r}

esto es, todos los puntos del sólido se mueven con la misma velocidad instantánea. Cuando esto ocurre se dice que el sólido experimenta un movimiento de traslación.

Si fijamos un sistema de ejes al sólido, estos mantienen su orientación en un movimiento de traslación.

Equivalentemente, el movimiento de traslación se puede enunciar afirmando que si tres puntos no colineales del sólido tienen la misma velocidad, todos los demás también tienen la misma.

Hay que insistir en que hablamos de velocidades instantáneas y del movimiento relativo de los diferentes puntos del sólido. Un movimiento de traslación NO significa que el sólido se mueve en línea recta, o a velocidad constante.

Por ejemplo, consideremos el movimiento de un vagón de una noria. Puesto que éste no se da la vuelta, sino que conserva en todo momento su orientación vertical, llegamos a la conclusión de que el sólido experimenta un movimiento de traslación. Cada uno de sus puntos se mueve en cada instante con la misma velocidad que el resto de los puntos, aunque esta velocidad sea cambiante.

3.1 Traslación permanente

En el caso más restrictivo

\vec{\omega}=\vec{0} \quad \forall t

implica un movimiento de traslación permanente: los ejes ligados al sólido conservan su orientación en cada instante y el movimiento de cada uno de los puntos del sólido reproduce exactamente el de cualquier otro de ellos.

En una traslación permanente, la posición relativa de un punto cualquiera k respecto a otro punto arbitrario i se mantiene constante en módulo, dirección y sentido.

\frac{\mathrm{d}\vec{r}_{ik}}{\mathrm{d}t}=\vec{v}_{ik}=\overbrace{\vec{\omega}}^{=\vec{0}}\times\vec{r}_{ik}= \vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{r}_{ik}=\mathrm{cte}

Un movimiento de traslación permanente no tiene por qué ser ni rectilíneo ni uniforme. Como en el caso de la noria, es posible que cada uno de los puntos describa una circunferencia en torno a un centro (siendo este centro diferente para cada punto del sólido).

4 Movimiento de rotación

4.1 Propiedades generales

Supongamos ahora que

\vec{v}_0 = \vec{0}

de forma que la velocidad instantánea de cada punto se reduce a

\vec{v}(\vec{r})=\vec{\omega}\times\vec{r}

Esta forma del campo de velocidades posee una serie de propiedades que lo identifican como movimiento de rotación:

  • La velocidad del punto O de referencia es nula
\vec{v}(\vec{0})=\vec{v}_0 = \vec{0}
  • Todos los puntos situados en la recta que pasa por O y tiene la dirección de \vec{\omega} poseen velocidad nula:
\vec{r}_i\parallel\vec{\omega}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}_i = \vec{\omega}\times\vec{r}_i=\vec{0}
Esta línea se conoce como eje instantáneo de rotación (EIR).
  • Dos puntos situados sobre una recta paralela al eje de rotación poseen la misma velocidad
\begin{array}{c}\vec{r}_{ik}\parallel\vec{\omega}\qquad\Rightarrow\qquad \\ \vec{v}_k-\vec{v}_i=\vec{v}_{ik}=\overbrace{\vec{\omega}\times\vec{r}_{ik}}^{=\vec{0}}=\vec{0} \qquad\Rightarrow\qquad  \vec{v}_k=\vec{v}_i\end{array}
Esto quiere decir que la estructura del campo de velocidades es la misma si consideremos planos paralelos entre sí y perpendiculares al EIR.
  • Inversamente, si dos puntos poseen la misma velocidad instantánea, el EIR es paralelo a la recta que pasa por estos dos puntos
\vec{v}_k =\vec{v}_i\qquad\Rightarrow\qquad\vec{\omega}\parallel\vec{r}_{ik}
  • La velocidad de cualquier punto que no pertenezca al EIR es perpendicular al eje de rotación.
\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i\perp\vec{\omega}
Por tanto, si consideramos un plano perpendicular al eje instantáneo de rotación por un punto I de este mismo eje, todos los puntos de este plano poseen una velocidad contenida en dicho plano.
  • Todos los puntos a la misma distancia del eje poseen la misma rapidez instantánea. Si consideramos un plano perpendicular al eje instantáneo de rotación, e I es la intersección del eje y el plano, entonces
|\vec{v}_k|= |\vec{\omega}\times\vec{r}_k|=|\vec{\omega}||\vec{r}_k||\mathrm{sen}(\theta)|
siendo θ el ángulo que el vector de posición forma con el eje de giro. Pero justamente
|\vec{r}_k||\mathrm{sen}(\theta)| = d
es la distancia del punto \vec{r}_k al eje de giro. Para todos los puntos situados a la misma distancia del eje d, la rapidez vale
|\vec{v}_k| = |\vec{\omega}|d
  • La celeridad de cada punto es proporcional a su distancia al eje. Justo en el eje la rapidez es nula, aumentando linealmente con d, la distancia al eje.
  • El sentido de las velocidades cumple la regla de la mano derecha respecto al vector \vec{\omega}.

Alternativamente, el movimiento de rotación se puede caracterizar a partir del estado de dos puntos cuya velocidad es nula y un tercero, \vec{r}_i, no colineal con ellos, con velocidad no nula, \vec{v}_i. En ese caso el resto del campo de velocidades es el de una rotación pura con eje el que pasa por los dos primeros puntos y con velocidad angular de módulo |\vec{v}_i|/d siendo d la distancia de \vec{r}_i a la recta que pasa por los otros dos.

Al estudiar el movimiento de rotación y describir las velocidades según la ley se puede adquirir la idea errónea de que las partículas del sólido describen un movimiento circular. Eso NO es correcto. Lo que hemos hecho es describir la distribución instantánea de velocidades, esto es, qué velocidad tiene cada punto del sólido en un instante dado, pero no hemos analizado cómo se mueve cada punto a lo largo del tiempo (en términos llanos, hemos tomado una fotografía, no una película de vídeo).

Archivo:cicloide-rotacion.gif

Consideremos el caso de un cilindro que rueda sobre el suelo. La línea de contacto esta formada por puntos con velocidad nula y por tanto se trata de un eje instantáneo de rotación. El cilindro está efectuando una rotación pura instantánea en torno a esta línea de contacto (y no respecto al eje del cilindro, como podría pensarse), pero la trayectoria de cada punto del cilindro no es una circunferencia, sino una cicloide (técnicamente, para los puntos que no son de la superficie exterior es una cicloide acortada).

La razón es que aunque instantáneamente esté rotando en torno a esta línea, el eje de rotación va cambiando en el tiempo.

4.2 Movimiento con un punto fijo

Supongamos el caso particular
\vec{v}_0=\vec{0}\qquad\forall t

En este caso tenemos un punto O para el cual la velocidad es siempre nula y, por tanto, se encuentra permanentemente en reposo.

El movimiento del sólido es, en cada instante una rotación en torno a un eje que pasa por este punto.

No podemos asegurar que haya más puntos permanentemente en reposo, ya que la orientación del eje de giro puede cambiar con el tiempo haciendo que los puntos instantáneamente en reposo sean diferentes en cada momento. La trayectoria de cada punto individual puede ser extremadamente complicada. NO describen una circunferencia.

El ejemplo típico de movimiento de un sólido con un punto fijo es el balanceo de una peonza o de un giróscopo.

4.3 Movimiento con un eje fijo

Supongamos el caso aun más restrictivo

\vec{v}_0=\vec{0}\qquad\qquad\vec{\omega}=\omega(t)\vec{k}\qquad\forall t

esto es, la velocidad angular, aunque puede ser variable en el tiempo, posee siempre la misma dirección.

En este caso, el eje de rotación es siempre el mismo y todos sus puntos están permanentemente en reposo. Se dice entonces que tenemos un movimiento con un eje fijo (eje permanente de rotación), y que el sólido es un rotor.

Este es el típico movimiento de un sólido ensartado a un eje permanente. Para este caso, sí es cierto que la trayectoria de los diferentes puntos es una circunferencia (o un arco de circunferencia).

Un ejemplo es el de un péndulo cuya barra es rígida y por tanto de longitud constante. La lenteja del péndulo efectúa un movimiento que, aunque oscilante, es de rotación en torno a un eje fijo.

5 Movimiento helicoidal

Consideremos ahora el caso más general en que ni \vec{v}_0 ni \vec{\omega} son nulos, pero sí paralelos.

\vec{v}_0 = v_d\vec{u}\qquad \vec{\omega} = \omega\vec{u}

En la expresión anterior \vec{u} representa el unitario en la dirección de la velocidad angular. vd es la componente de la velocidad del punto O en la dirección de este unitario. A esta cantidad se la conoce como velocidad de deslizamiento. Puede ser tanto negativa como positiva, dependiendo de si el avance es el sentido de la velocidad angular u opuesto a él.

En este caso, la velocidad de cada punto será de la forma

\vec{v}(\vec{r})=\overbrace{v_d\vec{u}}^{\parallel\vec{\omega}}+\overbrace{\omega \vec{u}\times\vec{r}}^{\perp\vec{\omega}}

esto es, se compone de una velocidad de avance en la dirección del eje definido por \vec{u} y de una rotación en torno a dicho eje.

La componente paralela a \vec{u} es la misma para todos los puntos, por tanto equivalente a una traslación

\vec{v}_\parallel =\vec{v}_0 = v_d\vec{u}

La componente perpendicular a esta dirección es análoga a la de un movimiento de rotación

\vec{v}_\perp = \vec{\omega}\times\vec{r}

En el movimiento helicoidal, por tanto, existe un movimiento de rotación en torno un eje acompañado de un deslizamiento en la dirección del eje, siendo la distribución de velocidades instantáneas equivalente a la de un tornillo.

El análogo al eje de rotación en este movimiento es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD), en el cual las partículas tienen velocidad nula de rotación, pero conservan su velocidad de avance en la dirección del eje.

La estructura del campo de velocidades posee las mismas propiedades que el de una rotación, salvo en el añadido de una componente paralela al eje.

La rapidez de los puntos del sólido no se anula en ningún punto

|\vec{v}| = \sqrt{v_d^2+\omega^2 d^2}

siendo mínima en los puntos del EIRMD.

6 Caso general

Supongamos ahora el caso general, con \vec{v}_0 y \vec{\omega} arbitrarios, nulos o no y paralelos o no, de forma que la velocidad de un punto P tiene la forma

\vec{v}(\vec{r}) = \vec{v}_0 + \vec{\omega}\times\vec{r}

Vemos, por la propia expresión, que el campo de velocidades equivale a una traslación simultaneada con una rotación. Pero el resultado de esta composición ¿puede reducirse a una traslación pura? ¿A una rotación pura? ¿A un movimiento helicoidal? ¿O es algo más complicado en el que tenemos una rotación acompañado de una traslación oblicua, como una especie de tornillo doblado?

Si \vec{\omega}\neq \vec{0} no puede reducirse a una traslación ya que la velocidad instantánea varía de punto a punto.

La clave para el análisis es que podemos descomponer \vec{v}_0 en una parte paralela a la velocidad angular y una perpendicular a ella según la fórmula general

\vec{v}_0=\vec{v}_{0\parallel}+\vec{v}_{0\perp}

con

\vec{v}_\parallel = \frac{\vec{\omega}(\vec{v}_0\cdot\vec{\omega})}{|\vec{\omega}|^2}\qquad\qquad \vec{v}_\perp = \frac{\vec{\omega}\times(\vec{v}_0\times\vec{\omega})}{|\vec{\omega}|^2}

Llevando esto a la expresión del campo de velocidades queda

\vec{v}(\vec{r}) = \frac{\vec{\omega}(\vec{v}_0\cdot\vec{\omega})}{|\vec{\omega}|^2}+\vec{\omega}\times\left(\vec{r}+\frac{\vec{v}_0\times \vec{\omega}}{|\vec{\omega}|^2}\right)

cuya notación se puede abreviar como

\vec{v}(\vec{r})=v_d\vec{u}+\vec{\omega}\times\left(\vec{r}-\vec{r}_I\right)

con

\vec{u}=\frac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}\qquad v_d = \frac{\vec{v}_0\cdot\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}\qquad \vec{r}_I=-\frac{\vec{v}_0\times\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|^2}

Esto nos permite caracterizar completamente el movimiento

  • Si \vec{\omega}=\vec{0} y \vec{v}_0=\vec{0} el estado es de reposo (instantáneo, en general).
  • Si \vec{\omega}=\vec{0} y \vec{v}_0\neq \vec{0} se trata de una traslación
  • Si \vec{\omega}\neq\vec{0} y \vec{v}_0\cdot\vec{\omega}=0 (porque \vec{v}_0=\vec{0} o es ortogonal a la velocidad angular) se trata de una rotación instantánea en torno a un EIR paralelo a la velocidad angular que pasa por \vec{r}_I (para el cual se anula la velocidad en ese caso).
  • Si \vec{\omega}\neq\vec{0} y \vec{v}_0\cdot\vec{\omega}\neq 0 es un movimiento helicoidal instantáneo en torno a un EIRMD paralelo a la velocidad angular que pasa por \vec{r}_I (para el cual la velocidad vale v_d\vec{u} y es paralela a la velocidad angular).
Archivo:flujo-solido-1.jpg

La ecuación del EIRMD (o EIR, en su caso) es la de una recta que pasa por un punto y de la cual conocemos su vector director

\vec{r}_E=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_0}{|\vec{\omega}|^2}+\lambda \vec{\omega}

7 Campo de aceleraciones

Derivando respecto al tiempo en la expresión del campo de velocidades obtenemos la aceleración de punto P

\vec{a}_P = \frac{\mathrm{d}\vec{v}_P}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}_O}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}\times\frac{\mathrm{d}(\overrightarrow{OP})}{\mathrm{d}t}

Siendo

 \frac{\mathrm{d}\vec{v}_O}{\mathrm{d}t}=\vec{a}_O        \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=\vec{\alpha}        \frac{\mathrm{d}(\overrightarrow{OP})}{\mathrm{d}t}=\vec{v}_P-\vec{v}_O = \vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}

llegamos a la expresión del campo de aceleraciones

\vec{a}_P = \vec{a}_O + \vec{\alpha}\times\overrightarrow{OP} + \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP})

A diferencia del campo de velocidades, el campo de aceleraciones no es equiproyectivo:

(\vec{a}_P-\vec{a}_O)\cdot\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OP}\cdot(\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP})) = -\left|\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}\right|^2

Solo en el caso de traslación o reposo instantáneos se cumplirá la equiproyectividad.

Dos consideraciones prácticas.

  • El campo de aceleraciones requiere conocer tres vectores (esto es, 9 datos, frente a los 6 del campo de velocidades):
    • La aceleración de un punto O, \vec{a}_O.
    • La velocidad angular instantánea, \vec{\omega}.
    • La aceleración angular, \vec{\alpha}, derivada temporal de la velocidad angular.
  • La aceleración de un punto P se puede calcular derivando la velocidad sólo si se conoce ésta como función del tiempo \vec{v}_P(t). Conocerla en un instante no es suficiente.

El conocimiento del campo de aceleraciones es especialmente útil cuando tenemos un punto fijo O, para el cual \vec{a}_O=\vec{0} y deseamos hallar la aceleración de otro punto en concreto, en particular, del centro de masas del sólido.

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