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Termómetro de gas con líquido

De Laplace

1 Enunciado

Se construye un termómetro de gas formado por un tubo de vidrio en U de sección S, cerrado por uno de sus extremos. En el extremo que está cerrado se halla un gas ideal que cuando su presión es p0 (la atmosférica) y su temperatura es T0 (la del ambiente) ocupa una cámara de altura h0. El tubo contiene una cierta cantidad de líquido tal que a esta presión y temperatura los dos niveles están enrasados. El resto del tubo está abierto a la atmósfera.

Cuando el extremo cerrado se sumerge en un sistema cuya temperatura T queremos determinar, se encuentra que el nivel del otro tubo se eleva a una altura h sobre la de referencia.

  1. ¿Cuál es la temperatura del sistema?
  2. Si en un proceso vemos que h varía cuasiestáticamente desde 0 a h1, ¿qué curva describe en un diagrama pV el gas ideal de la cámara?
Archivo:tubo-en-U.png

2 Cálculo de la temperatura

Por la ley de los gases ideales para el gas contenido en la cámara

\frac{pV}{T} = \frac{p_0V_0}{T_0}

de donde la temperatura es igual a

T = \frac{pV}{p_0V_0}T_0

Necesitamos entonces hallar el nuevo volumen y la nueva presión del gas.

Cuando el nivel sube una altura h en el tubo abierto, baja la misma altura en el cerrado (por ser de la misma sección). Por tanto, el nuevo volumen es

V = S(h_0+h)\qquad\qquad V_0 = Sh_0

La presión la da la hidrostática. Puesto que hay un desnivel 2h respecto al brazo abierto, la presión será la armosférica más la correspondiente a este desnivel

p = p_0 + 2\rho g h\,

Llevando esto a la expresión de la temperatura

T = \frac{(p_0+2\rho g h)S(h_0+h)}{p_0Sh_0}T_0 = \left(1+\frac{2\rho g h}{p_0}\right)\left(1+\frac{h}{h_0}\right)T_0

Vemos que no resulta una escala lineal de temperaturas, sino que la temperatura aumenta parabólicamente con la altura. O lo que es lo mismo, la altura con que medimos la temperatura varía como una función que incluye raíces cuadradas.

3 Representación en un diagrama pV

Caundo se va modificando la temperatura, va cambiando la elevación según las pexresiones que hemos ya indicado

\left\{\begin{array}{rcl} V & = & V_0+S h \\ p & = & p_0+2\rho gh\end{array}\right.

Empleando h como variable, estas son las ecuaciones paramétricas de una recta de pendiente positiva. Por tanto, sobre un diagrama pV el proceso se representará como un segmento inclinado.

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