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Teorema de Poynting para un condensador

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuentra lleno de un material óhmico, de permitividad \varepsilon, conductividad σ, y permeabilidad magnética μ. El radio de las placas es b, y la distancia entre ellas es a (a\ll b). La placa superior está permanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tensión V(t).
  1. Despreciando los efectos de borde y la inducción electromagnética, halle el campo eléctrico entre las placas y la corriente total que fluye entre ellas.
  2. Calcule el campo magnético entre las placas, teniendo en cuenta que en el eje \mathbf{B}=\mathbf{0}.
  3. Halle el vector de Poynting en el espacio entre las placas, así como su flujo a través de una superficie cilíndrica de radio b y altura a, concéntrica con el sistema.
  4. ¿A qué equivale este flujo del vector de Poynting? ¿En qué caso es nulo? ¿Qué representa este caso?

2 Solución

2.1 Campo eléctrico y corriente

Si despreciamos los efectos de borde y los efectos de la inducción electromagnética, el campo eléctrico en este sistema es análogo al de un condensador de placas planas y paralelas en electrostática

\mathbf{E}=\frac{V(t)}{a}\mathbf{u}_{z}

Una vez conocido el campo eléctrico el cálculo de la corriente es inmediato. En este caso tenemos dos densidades de corriente :

2.1.1 Corriente de conducción

Verifica la ley de Ohm

\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}=\frac{\sigma V}{a}\mathbf{u}_{z}

2.1.2 Corriente de desplazamiento

\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}=\frac{\varepsilon}{a}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\mathbf{u}_{z}

Ambas corrientes van en la dirección perpendicular a las placas.

Estas expresiones nos permiten comparar la importancia relativa de la corriente de desplazamiento frente a la de conducción en un medio óhmico. Supongamos que V(t) varía sinusoidalmente. Las corrientes serán

\mathbf{J}_c=\sigma\frac{V_0}{a}\mathrm{sen}(\omega t)\mathbf{u}_{z}\qquad
\mathbf{J}_d=\varepsilon\frac{V_0}{a}\omega\cos(\omega t)\mathbf{u}_{z}

La importancia relativa será

\frac{J_{d\mathrm {max}}}{J_{c\mathrm {max}}}=\frac{\varepsilon\omega(V_0/a)}{\sigma(V_0/a)}=\omega\,\frac{\varepsilon}{\sigma}

Esta cantidad es dependiente de la frecuencia no sólo por que aparece en la expresión, sino porque \varepsilon y σ dependen también de ella. Para frecuencias bajas, la corriente de desplazamiento es mucho más pequeña que la de conducción. Por ejemplo, para el agua de mar,

\varepsilon\simeq 7\times 10^{-10}\, \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}\qquad
\sigma\simeq 4\,\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{m}}

para una frecuencia f=50\,\mathrm{Hz} resulta

\frac{J_d}{J_c}\simeq \frac{7\times 10^{-10} {\cdot}2{\cdot}\pi{\cdot} 50}{4}\simeq
5.5\times 10^{-8}

esto es, que la corriente de conducción es veinte millones de veces más grande que la de desplazamiento. Para el agua destilada \sigma\simeq 10^{-4}\,\mathrm{S}{\cdot}\mathrm{m}^{-1} esta proporción disminuye, pero aun sigue siendo una diezmilésima. Hay que aumentar la frecuencia hasta los megahercios para que sea realmente apreciable.

En un medio conductor, como el cobre \sigma\simeq 5.7\times 10^{7}\,\mathrm{S}{\cdot}\mathrm{m}^{-1} la corriente de desplazamiento es absolutamente despreciable incluso a muy altas frecuencias.

2.2 Campo magnético

El campo magnético es debido a las dos corrientes anteriores. Por la simetría del sistema, se deduce que debe ser de la forma

\mathbf{H}=H(\rho)\mathbf{u}_{\varphi}

análogamente al caso de un cable cilíndrico o de un condensador sin pérdidas.

Si aplicamos la ley de Ampère--Maxwell en medios materiales

\oint \mathbf{H}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=I_c+I_d

a una circunferencia concéntrica con el eje del sistema tenemos por un lado

\oint \mathbf{H}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=2\pi\rho H(\rho)

y, por otro,

I_c+I_d=\int\left(\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=
 \left(\frac{\sigma  V}{a}+\frac{\varepsilon}{a}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\right)\pi \rho^2

En las dos integrales anteriores hemos aplicado que los integrandos son uniformes en el dominio de integración. Igualando los dos miembros resulta, para el campo magnético

\mathbf{H}=\frac{\rho}{2a}\left(\sigma V+\varepsilon
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\right)\mathbf{u}_{\varphi}

2.3 Vector de Poynting y flujo de energía

Conocidos los campos eléctrico y magnético, el cálculo del vector de Poynting es inmediato

\mathbf{N}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}= -\frac{\rho V}{2a^2}\left(\sigma V+\varepsilon
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\right)\mathbf{u}_{\rho}

El vector de Poynting apunta en la dirección radial, ortogonal a \mathbf{E} (que es vertical) y a \mathbf{H} (que es acimutal).

2.4 Balance energético

El flujo de este vector a través de una superficie de radio b concéntrica se descompone en dos integrales sobre las bases, más una sobre la cara lateral. Las de las bases se anulan, por ser el vector de Poynting tangente a la superficie. La integral sobre la cara lateral es

 \Phi=\oint \mathbf{N}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_0^a\mathrm{d}z\int_0^{2\pi} b\,\mathrm{d}\varphi
 \left(-\frac{b V}{2a^2}\left(\sigma V+\varepsilon
 \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\right)\right)=
 -\frac{\sigma \pi b^2}{a} V^2-\frac{\varepsilon \pi
 b^2}{a}V\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}

Este resultado puede interpretarse fácilmente. Identificando

R=\frac{a}{\sigma\pi b^2}\qquad C=\frac{\varepsilon\pi b^2}{a}

puede escribirse como

-\Phi=\frac{V^2}{R}+\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}CV^2\right)

que se lee como que la energía que fluye hacia adentro del sistema equivale a la energía disipada en la resistencia, más la que se almacena en el condensador.

Otra forma de leer esta misma ecuación es escribir

-\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}CV^2\right)=\Phi+\frac{V^2}{R}

que nos dice que, de lo que disminuye la energía almacenada en el condensador, parte se va por efecto Joule, y parte es emitida hacia el exterior (por radiación).

Podemos trazar el circuito equivalente (formado por una resistencia y un condensador en paralelo) e interpretar este flujo como la energía aportada por el generador en un proceso no estacionario. Hay que ser cuidadosos, no obstante, con la visualización del flujo de energía, pues, según el cálculo anterior, ésta no llega al sistema a través del cable, sino que atraviesa las paredes laterales del mismo.

El caso en que este flujo es nulo (aparte del caso trivial V = 0) se da cuando

\sigma V+\varepsilon\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=0

Si se verifica esta relación, la corriente de desplazamiento cancela a la de conducción, se anula el campo magnético y, por consiguiente, el vector de Poynting.

En este mismo caso, el potencial debe cumplir

V=V_0\mathrm{e}^{-t/\tau}\qquad \tau=\frac{\varepsilon}{\sigma}=R C

que corresponde a la descarga del condensador, inicialmente a través de la resistencia. En este caso, toda la energía disipada procede de la energía almacenada y no se precisa un generador externo que aporte o extraiga energía.

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