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Suspensión cardán de dos ejes

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una suspensión Cardán de dos ejes puede modelarse mediante tres aros concéntricos (gimbal) articulados sobre ejes perpendiculares

        

Sea ϕ el ángulo que forma el aro intermedio (“sólido 2”) con el exterior (“sólido 1”), y θ el que el aro interior (“sólido 3”) forma con el intermedio. Cuando los dos ángulos se anulan los tres aros son coplanarios. Puede asociarse un sistema de ejes a cada sólido, de manera que el eje de las rotaciones en ϕ es OZ1 = OZ2 y el de las de θ es OX2 = OX3. En función de los dos ángulos y sus derivadas respecto al tiempo

  1. Indique las relaciones entre las bases ligadas a cada sólido
  2. Exprese las velocidades angulares \vec{\omega}_{21}, \vec{\omega}_{32} y \vec{\omega}_{31}.
  3. Exprese las aceleraciones angulares \vec{\alpha}_{21}, \vec{\alpha}_{32} y \vec{\alpha}_{31}.

2 Relaciones entre bases

2.1 Entre la base 1 y la 2

El giro se realiza alrededor del eje OZ1, por lo que el vector en la dirección de este eje es el mismo en las dos bases

\vec{k}_1=\vec{k}_2

mientras que los otros 2 se calculan mediante una rotación de un ángulo ϕ. Esto nos da las relaciones

\begin{array}{rclcrcl}
\vec{\imath}_2&=&\cos(\phi)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\phi)\vec{\jmath}_1&\qquad&\vec{\imath}_1&=&\cos(\phi)\vec{\imath}_2-\mathrm{sen}(\phi)\vec{\jmath}_2\\
\vec{\jmath}_2&=&-\mathrm{sen}(\phi)\vec{\imath}_1+\cos(\phi)\vec{\jmath}_1&\qquad&\vec{\jmath}_1&=&\mathrm{sen}(\phi)\vec{\imath}_2+\cos(\phi)\vec{\jmath}_2\\
\vec{k}_2&=&\vec{k}_1&\qquad&\vec{k}_1&=&\vec{k}_2
\end{array}


        

2.2 Entre la base 2 y la 3

De la misma manera obtenemos la relación entre la base intermedia 2 y la interior, 3. En este caso el giro es en torno al eje OX2 or lo que el vecor en esta dirección no se ve afectado

\vec{\imath}_2=\vec{\imath}_3

mientras que los otros dos se relacionan mediante la rotación correspondiente. Esto da

\begin{array}{rclcrcl}
\vec{\imath}_3&=&\vec{\imath}_2&\qquad&\vec{\imath}_2&=&\vec{\imath}_3\\
\vec{\jmath}_3&=&\cos(\theta)\vec{\jmath}_2+\mathrm{sen}(\theta)\vec{k}_2&\qquad&\vec{\jmath}_2&=&\cos(\theta)\vec{\jmath}_3-\mathrm{sen}(\theta)\vec{k}_3\\
\vec{k}_3&=&-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_2+\cos(\theta)\vec{k}_2&\qquad&\vec{k}_2&=&\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_3+\cos(\theta)\vec{k}_3
\end{array}


        

3 Velocidades angulares

Del movimiento {21}

Al ser el eje de giro el OZ1 la velocidad angular de este movimiento en

\vec{\omega}_{21}=\dot{\phi}\vec{k}_1=\dot{\phi}\vec{k}_2
Del movimiento {32}

De la misma manera

\vec{\omega}_{32}=\dot{\theta}\vec{\imath}_2=\dot{\imath}\vec{\imath}_3
Del movimiento {31}

Este es composición de los dos anteriores

\vec{\omega}_{31}=\vec{\omega}_{32}+\vec{\omega}_{21}=\dot{\theta}\vec{\imath}_2+\dot{\phi}\vec{k}_2
En este caso, la expresión más simple de la velocidad angular se tiene en la base intermedia “2”. Sin embargo, puede ser necesario expresarla en el sistema fijo 1 o en e ligado 3. Para ello, empleamos las relaciones entre bases, expresadas en la sección anterior. En la bae fija
\vec{\omega}_{31}=\dot{\theta}(\cos(\phi)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\phi)\vec{\jmath}_1)+\dot{\phi}\vec{k}_1=\dot{\theta}\cos(\phi)\vec{\imath}_1+\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\phi)\vec{\jmath}_1+\dot{\phi}\vec{k}_1
y en la ligada al sólido 3
\vec{\omega}_{31}=\dot{\theta}\vec{\imath}_3+\dot{\phi}(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_3+\cos(\theta)\vec{k}_3)=\dot{\theta}\vec{\imath}_3+\dot{\phi}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_3+\dot{\phi}\cos(\theta)\vec{k}_3

4 Aceleraciones angulares

Del movimiento {21}

Al ser el eje de giro OZ1 un eje permanente la aceleración angular de este movimiento en

\vec{\alpha}_{21}=\ddot{\phi}\vec{k}_1=\ddot{\phi}\vec{k}_2
Del movimiento {32}

De la misma manera

\vec{\alpha}_{32}=\ddot{\theta}\vec{\imath}_2=\ddot{\imath}\vec{\imath}_3
Del movimiento {31}

Este es composición de los dos anteriores

\vec{\alpha}_{31}=\vec{\alpha}_{32}+\vec{\alpha}_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\vec{\omega}_{32}=\ddot{\theta}\vec{\imath}_2+\ddot{\phi}\vec{k}_2+(\dot{\phi}\vec{k}_2)\times(\dot{\theta}\vec{\imath}_2)= \ddot{\theta}\vec{\imath}_2+\dot{\phi}\dot{\theta}\vec{\jmath}_2+\ddot{\phi}\vec{k}_2

De nuevo, si es preciso, puede pasarse esta aceleración angular a la base fija o a la base ligada, mediante el cambio de base correspondiente.

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