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Superposición de fuerzas electrostáticas (GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dos partículas con cargas eléctricas q1 = q2 = 1μC se encuentran situadas en las posiciones \vec{r}_1=d\!\ \vec{\imath} y \vec{r}_2=d\!\ \vec{\jmath}, siendo d=1\,\mathrm{m}. Se coloca una tercera partícula con carga q_3=2\,\mu\mathrm{C} en \vec{r}_3=d\!\ (\vec{\imath}+\vec{\jmath}).

  1. Calcular la fuerza sobre q3.
  2. ¿Qué valor ha de tener una carga q4 situada en el origen para que la fuerza neta sobre la partícula con carga q3 pase a ser nula?

2 Solución

2.1 Fuerza sobre la carga q3

Las fuerzas que describen la interacción electrostática verifican el principio de superposición. En el sistema que nos ocupa, la q3 está sometida a la acción simultánea de las cargas q1 y q2. La fuerza total \vec{F}_3 que actúa sobre aquélla es igual a la suma vectorial de las fuerzas electrostáticas que cada una de las cargas q1 y q2 ejercerían por separado, y que verificarán la ley de Coulomb:

\vec{F}_3=\vec{F}_{31}+\vec{F}_{32}\,\mathrm{;}\quad\mbox{con}\quad\vec{F}_{3i}=\ k_e\!\ q_iq_3\ \frac{\vec{r}_3-\vec{r}_i}{|\vec{r}_3-\vec{r}_i|^3}\quad (i=1,2)

Utilizando las expresiones analíticas de los vectores que indican las posiciones de las tres cargas, se obtiene:

\vec{F}_3= k_e\!\ \frac{q_1q_3}{d^2}\ \vec{\jmath}+k_e\!\ \frac{q_2q_3}{d^2}\ \vec{\imath}=k_e\!\ \frac{q_3}{d^2}\ \bigg(q_2\!\ \vec{\imath}+q_1\!\ \vec{\jmath}\bigg)

Y como las cargas q1 y q2 son idénticas, se tendrá que las componentes cartesianas de la fuerza total so iguales:

F_3^x=F_3^y\approx 18\times 10^{-3}\,N

2.2 Carga que anula la interacción sobre q3

Una carga q4 en el origen del sistema de referencia ejercería una fuerza

\vec{F}_{34}= k_e\!\ q_4q_3\ \frac{\vec{r}_3}{|\vec{r}_3|^3}= k_e\!\  \frac{q_4q_3}{2\sqrt{2}\!\ d^2}\ \bigg(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\bigg)
sobre la carga q3. Si esta interacción se superpone con la de las cargas q1 y q2, la fuerza total que actúa sobre aquélla será ahora:
\vec{F}_3^\prime=\vec{F}_{31}+\vec{F}_{32}+\vec{F}_{34}

Y para que ésta sea nula se deberá cumplir:

\vec{F}_3^\prime=\vec{0}\quad\Longleftrightarrow\quad\vec{F}_{34}=-(\vec{F}_{31}+\vec{F}_{32})=-\vec{F}_3=- k_e\!\  \frac{q_1q_3}{d^2}\ \bigg(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\bigg)

donde hemos tenido en cuenta que las cargas q1 y q2 son idénticas. Y para que ésta sea la fuerza ejercicia por la carga q4 se deberá cumplir...

q_4=\frac{q_4q_3}{2\sqrt{2}}=-q_1q_3\quad\Longrightarrow\quad q_4=-2\sqrt{2}\!\ q_1=-2\sqrt{2}\,\mu\mathrm{C}

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