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Sonda espacial sometida a la atracción gravitatoria de un planeta, F1 GIA (Ene, 2018)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una sonda espacial, que se considera como partícula material P de masa m se dirige a un planeta de masa M, sometida exclusivamente a la acción gravitatoria de éste. El planeta está situado en el origen O de un sistema de referencia inercial OXYZ tal que la trayectoria Γ seguida por la sonda está contenida en el plano OXY. Si se utilizan las coordenadas polares para indicar la posición de la sonda/partícula en cada instante, la trayectoria Γ seguida por la partícula en su movimiento de aproximación al planeta y su posterior alejamiento,queda descrita por la siguiente ecuación:

\overrightarrow{OP}= \vec{r}(t)=r(t)\!\ \left[\cos \theta (t)\!\ \vec{\imath}+ \mathrm{sen}\!\ \theta(t)\!\ \vec{\jmath}\right]=r(t)\!\ \vec{u}_r (t)\quad \Longrightarrow\quad \Gamma: r(\theta)=\frac{2\!\ b}{1- 2\!\  \mathrm{sen}\!\ \theta}\mathrm{,}\quad \mathrm{con}\;\; \frac{5\pi}{6}<\theta< 2\pi+\frac{\pi}{6}

Cuando se encuentra a distancias muy grandes del planeta (r\longrightarrow\infty), la sonda sigue trayectorias prácticamente rectilíneas y paralelas a las rectas θ = 5π / 6, cuando se aproxima al planeta), y θ = π / 6 cuando se aleja. En consecuencia, cuando la sonda se aproxima al planeta, pero aún se encuentra a una gran distancia de éste, la velocidad instantánea de aquélla, \, \vec{v}(\theta\approx5\pi/6), tiene la dirección y sentido del vector \vec{u} =(1/2)\!\ \big[\sqrt{3}\!\ \vec{\imath}-\vec{\jmath}\big] (es decir, paralela a la recta correspondiente a \theta=5\!\ \pi/6); además, su módulo es \, v_0=\sqrt{3GM/2b}.

Por otra parte, la sonda alcanza su máxima aproximación al planeta en el instante tm, cuando se encuentra en la posición θ(tm) = 3π / 2, donde se verifica que la velocidad de la sonda es perpendicular al radio-vector posición.

  1. Obtenga una expresión para el módulo de la velocidad (celeridad) de la sonda, como una función de su posición, dada por el valor del ángulo θ, |\vec{v}|=v(\theta).
  2. Determine la dirección, el sentido y el módulo del momento cinético de la partícula respecto de O (magnitud vectorial \vec{L}_O) en un instante t cualquiera, en el cuál la sonda ocupa la posición dada por θ(t).

2 Solución

Realicemos primero una discusión preliminar sobre la descripción de la posición y movimiento de la sonda, considerada en primera aproximación como una partícula. Ésta realiza un movimiento en un plano que identificamos como el OXY, con origen en el centro O del planeta, y siguiendo una trayectoria descrita en términos de las coordenadas polares. Con esta información, la posición de la partícula en el plano queda completamente determinado en todo momento, por el valor de una de las dos variables, r\, o \,\theta.

\left.\begin{array}{l} \displaystyle\overrightarrow{OP}= \vec{r}(t)=r(t)\!\ \vec{u}_r [\theta(t)]\\ \\ \displaystyle\forall\, t \mathrm{,}\quad P\in \Gamma: r=r(\theta)\end{array}\right\}\; \Longrightarrow \;\overrightarrow{OP}= \vec{r}(t)=\vec{r}[\theta (t)]

Esto puede ser también aplicado en las magnitudes cinemáticas. Por ejemplo, las componentes polares de la velocidad de la partícula en un instante, pueden ser descritas en función de la posición que ocupa la partícula en dicho momento, en términos del correspondiente valor de θ(t):

\left.\begin{array}{l}\displaystyle\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}(t)}{\mathrm{d}t}=\dot{r} (t)\!\ \vec{u}_r [\theta (t)] \!\ +\!\ r[\theta (t)]\!\ \dot{\theta}(t)\!\ \vec{u}_r [\theta (t)]
\\ \\ \displaystyle \dot{r}(t)=\frac{\mathrm{d}r[\theta(t)]}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\ \dot{\theta}(t)\end{array}\right\}\; \Longrightarrow \;\; \vec{v}(t)=\dot{\theta}(t)\ \left[\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\ \vec{u}_r [\theta (t)]\!\ +\!\ r[\theta (t)]\!\ \vec{u}_r [\theta (t)]
\!\ \right]


Archivo:f1_gIA_ex1ac_17_18_e3_0s.png

 

2.1 Celeridad de la sonda, en función de la posición

La sonda, considerada en primera aproximación como una partícula de masa m, está sometida exclusivamente a la fuerza de atracción gravitatoria ejercida por el planeta,

\vec{F}_\mathrm{g}(\vec{r})=-G\ \frac{M\!\ m}{r^2}\ \vec{u}_r

siendo r=|\vec{r}| la distancia del centro O del planeta a la posición P ocupada por la sonda/partícula en un cierto instante. Al tratarse de una fuerza conservativa, el trabajo elemental que realiza en un dt es opuesto a la variación de un campo escalar asociado a dicha fuerza que se denomina energía potencial gravitatoria U_\mathrm{g}(\vec{r}). Por otra parte, si es la única fuerza que realiza trabajo, éste debe traducirse en variación de la energía cinética Em de la partícula/sonda (teorema de las fuerzas vivas). Luego, la energía mecánica de la partícula, definida en cada instante como la suma de sus energías cinética y potencial en la correspondiente posición, no sufre variación alguna. Es decir, se verifica la conservación de la energía mecánica de la sonda/partícula, de manera que el de esta magnitud cinética permanece constante durante el movimiento:


\left.\begin{array}{l} \displaystyle \delta W_\mathrm{g}=\vec{F}_\mathrm{g}(\vec{r})\cdot \mathrm{d}\vec{r}=-\mathrm{d}U_\mathrm{g}\\ \\ \displaystyle \delta W_\mathrm{g}=\delta W=\mathrm{d}U_\mathrm{g}=\mathrm{d}E_\mathrm{c}\end{array}\right\}\; \Longrightarrow \; \mathrm{d}E_\mathrm{m}=\mathrm{d}E_\mathrm{c}\!\ +\!\ \mathrm{d}U_\mathrm{g}=0\; \Longrightarrow \;E_\mathrm{m}(P)=E_\mathrm{c}(P)\!\ +\!\ U_\mathrm{g}(P)=E_0\mathrm{,}\;\;\mathrm{cte.}

Calculemos pues, la expresión de la energía mecánica en función de la posición de la partícula y cuál debe ser su valor constantee. Como se sabe, la energía potencial gravitatoria es exclusivamente función de la distancia r que, como se discutió anteriormente, aquí podemos expresar como una función de la varible θ:

\begin{array}{c}\displaystyle \mathrm{d}U_\mathrm{g}=-\delta W_\mathrm{g}=-\vec{F}_\mathrm{g}(\vec{r}) \cdot \mathrm{d}\vec{r}=G\ \frac{M\!\ m}{r^2}\ \mathrm{d}r\; \Longrightarrow\\ \\ \displaystyle\Longrightarrow \; U_\mathrm{g}(\vec{r})=-G\ \frac{M\!\ m}{r(\theta)}=G\ \frac{M\!\ m}{2b}\ \left(2 \!\ \mathrm{sen}\!\ \theta-1\right)=U_\mathrm{g}(\theta)\end{array}

Obsérvese que cuando la sonda/patícula se encuentra en puntos de la trayectoria muy alejados del planeta (es decir, cuando se desplaza sobre o cerca de las asíntotas θ = π / 6 y θ = 5π / 6), la energía potencial gravitatoria es (casi)nula:

U_\mathrm{g}(r\rightarrow \infty)=U_\mathrm{g}(\theta\rightarrow 5\pi/6)=U_\mathrm{g}(\theta\rightarrow \pi/6)=0

En cuanto a la energía cinética...

E_\mathrm{c}(P)=\frac{1}{2}\ m \!\ |\vec{v}(t)|^2=\frac{1}{2}\ m \!\ v^2[\theta (t)]

Por tanto, el valor de esta magnitud cinética en puntos de la trayectoria muy alejados (en particular, cuando se está acercando) es...

E_\mathrm{c}(r\rightarrow \infty)=\frac{1}{2}\ m \!\ v^2(\theta\approx 5\pi/6)=\frac{1}{2}\ m \!\ v_0^2=G\ \frac{3\!\ M\!\ m}{4b}

Y si la energía mecánica permanece constante durante su navegación en las inmediaciones del planeta, su valor debe ser el que tenía cuando iniciaba la aproximación; es decir, cuando se encontraba a gran distancia y cerca de la asíntota θ = 5π / 6:

E_\mathrm{m}(P)=E_\mathrm{c}(P)\!\ +\!\ U_\mathrm{g}(P)=E_0\mathrm{,}\;\;\forall\,t \; \Longrightarrow \;E_0=E_\mathrm{c}(\theta=5\pi/6)\!\ +\!\ \underbrace{U_\mathrm{g}(\theta=5\pi/6)}_{=0}=G\ \frac{3\!\ M\!\ m}{4b}

Por tanto, para una posición arbitraria P(θ) en la trayectoria, se tendrá:

E_\mathrm{c} (\theta)=\frac{1}{2}\ m \!\ v^2[\theta (t)]=E_0-U_\mathrm{g}(\theta)=G\ \frac{M\!\ m}{2\!\ b}\left[\frac{5}{2}-2\!\ \mathrm{sen}\!\ \theta\right]

En consecuencia, la celeridad (o módulo de la velocidad) de la sonda/partícula, en función de su posición en la trayectoria Γ, dada por el valor de la coordenada polar θ, es:

v(\theta)=|\vec{v}|=\sqrt{\frac{G\!\ M}{b}\!\ \left(\frac{5}{2}-2\!\ \mathrm{sen}\!\ \theta\right)}

2.2 Momento cinético de la sonda

El momento cinético respecto del punto O de la sonda, considerada como una partícula de masa m), es el momento vectorial de su cantidad de movimiento calculado respecto de dicho punto:

\vec{L}_O=\overrightarrow{OP}\times\vec{p}(t)=m\!\ \vec{r}(t)\times\vec{v}(t)=\vec{L}_O(t)

Se trata, por tanto, de una magnitud cinética que en el transcurso del movimiento será, en general, variable en el tiempo. El teorema del momento cinético establece que la variación que por unidad de tiempo sufre el momento cinético de una partícula respecto de un punto fijo es igual al momento resultante, respecto de dicho punto, de las fuerzas que actúan sobre aquéllas. En el caso bajo estudio hay una única fuerza: la gravitatoria \vec{F}_\mathrm{g} ejercida por el planeta que, además de conservativa, es una fuerza central que en todo momento apunta al centro O del campo gravitatorio del planeta:


\left.\begin{array}{l} \displaystyle \frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXYZ}=\overrightarrow{OP}\times \vec{F}_\mathrm{g}(P)\\ \\ \displaystyle \overrightarrow{OP}\, \|\, \vec{F}_\mathrm{g}(P)\mathrm{,}\;\;\forall\,P\end{array}\right\}\; \Longrightarrow \;\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXYZ}=\vec{0}\mathrm{,}\;\;\forall\,t\; \Longrightarrow \;\vec{L}_O(t)=\vec{L}_O\mathrm{,}\;\;\mathrm{cte.}

Es decir, el momento cinético \vec{L}_O de la sonda/partícula verifica el teorema de conservación de esta magnitud vectorial, que tendrá módulo, dirección y sentido constantes. La propiedad de dirección constante está implícita en el dato proporcionado en el enunciado de que la partícula realiza un movimiento cuya trayectoria Γ está contenida en el plano cartesiano OXY. Aplicando la definición de momento cinético y teniendo en cuenta que tanto el radio-vector \vec{r}=\overrightarrow{OP}, como la velocidad \vec{v}(t), son vectores contenidos en dicho plano, se obtiene que en todo instante...

\vec{L}_O=m\!\ \vec{r}(t)\times\vec{v}(t)=m\!\ r^2[\theta (t)]\!\ \dot{\theta} (t)\!\ \vec{k}\ \|\ OZ

Es decir, su dirección va a ser siempre paralela al eje OZ y perpendicular, por tanto, al plano de movimiento. Por su parte, el módulo y el sentido del vector momento cinético están determinados por el valor de la componente, que en términos de las coordenadas polares será:

L=m\!\ r^2[\theta (t)]\!\ \dot{\theta} (t)=m\!\ \dot{\theta}(t)\ \frac{4\!\ b^2}{[1-2\!\  \mathrm{sen}\!\ \theta (t)]^2}


... pero que, en virtud del teorema de conservación discutido anteriormente, debe ser también una constante de movimiento. El sentido del vector estará determinado por el signo de la velocidad angular \dot{\theta} (t): se propone un sistema de referencia tal que cuando la partícula se está aproximando en dt > 0, la coordenada angular θ está aumentando a partir del valor θ = 5π / 6. Por tanto,
\dot{\theta}(t)>0\; \Longrightarrow \; L=m\!\ r^2[\theta (t)]\!\ \dot{\theta} (t)=|\vec{L}_O|>0

Y para calcular el módulo, basta con calcular el momento cinético respecto de O en un instante donde podamos determinar posición y velocidad, y el ángulo que forma los correspondientes vectores:

L=|\vec{L}_O|=m\!\ |\vec{r}(t)\times\vec{v}(t)|=m\!\ r[\theta(t)]\!\ v[\theta(t)]\!\  \mathrm{sen}\!\ \varphi(t)\mathrm{,}\quad\mathrm{siendo}\;\;\,\varphi(t)=(\widehat{\vec{r},\vec{v}})

En el enunciado se indica que en un cierto instante tm, cuando la sonda ocupa la posición θ(tm) = 3π / 2, el radio-vector posición y la velocidad instantánea tienen direcciones perpendiculares; por tanto,

\theta (t_m)=\frac{3\!\ \pi}{2}\; \Longrightarrow \; \left\{\begin{array}{l}\displaystyle \vec{r}(t_m)\,\perp\, \vec{v}(t_m)\ \equiv \  \mathrm{sen}\!\ \varphi(t_m)=1\\ \\ \displaystyle r(t_m)=\frac{2\!\ b}{3}\\ \\ \displaystyle v(t_m)=3\ \sqrt{\frac{G\!\ M}{2\!\ b}}=\sqrt{3}\ v_0\end{array}\right\}\; \Longrightarrow    L=|\vec{L}_0|=\frac{2}{\sqrt{3}}\ m\!\ b\!\ v_0

En resumen, el momento cinético de la sonda/partícula respecto del centro O del planeta, es una magnitud vectorial constante en el tiempo durante en el movimiento,

\vec{L}_O=\frac{2}{\sqrt{3}}\ m\!\ b\!\ v_0\!\ \vec{k}

donde v0 es el módulo de la velocidad que tiene la sonda inicialmente, cuando inicia su aproximación al planeta.

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