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Solución de la 2ª convocatoria de Física I 12/13 (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Pregunta T.1

Se mide el lado de una baldosa cuadrada y se obtiene que mide 33.3 cm. ¿Cuál es la expresión correcta de la longitud de su diagonal?

  • A: 47.1 cm
  • B 50 cm
  • C 47.09331 cm
  • D 47.0933116270 cm

1.1 Solución

La respuesta correcta es la A.

La pregunta no trata tanto del resultado del cálculo sino de su expresión. Expleando una calculadora de gran precisión obtenemos que la diagonal mide

d = 33.3\sqrt{2} = 47.0933116270\ldots\mathrm{cm}

pero evidentemente es absurdo poner tantas cifras. Si el dato original procede de una medida que tiene una precisión de una décima y tiene tres cifras significativas, no puede ser que el resultado tenga 15 cifras significativas; estaríamos produciendo exactitud a partir de un dato incierto. La expresión más correcta, sin entrar en cálculos de incertidumbres, es dar tantas cifras significativas como el dato original. Redondeando queda 47.1 cm.

2 Preguntas T.2 y T.3

Una partícula de masa m=1\,\mathrm{kg} describe el movimiento dado por la ecuación horaria, en el SI,

\vec{r}(t) = 5\cos\left(\frac{\pi}{2} t\right)\vec{\imath}+3\,\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2} t\right)\vec{\jmath}

2.1 Pregunta T.2

¿Cómo es la trayectoria de la partícula?

  • A. Circular
  • B. Sinusoidal
  • C. Rectilínea
  • D. Elíptica

2.1.1 Solución

La respuesta correcta es la D

Este movimiento es una combinación de dos oscilaciones armónicas. El movimiento general de un oscilador armónico es una elipse. Podemos ver que este es el caso, ya que en x oscila entre -5 y + 5 y en y entre -3 y +3, por lo que no puede ser una circunferencia. El que uno sea un coseno y el otro un seno hace que no pueda ser una recta. Por tanto es una elipse

Archivo:movimiento-eliptico.gif

Otra forma de verlo es separar las componentes y comprobar que verifican

\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=\cos^2\left(\frac{\pi}{2}t\right)+\mathrm{sen}^2\left(\frac{\pi}{2}t\right)=1

que es la ecuación de una elipse.

2.2 Pregunta T.3

¿Cuáles son los vectores tangente y normal en t = 1\,\mathrm{s}?

  • A. Ninguna de las otras tres respuestas es correcta.
  • B. \vec{T}=-\vec{\jmath}, \vec{N}=-\vec{\imath}
  • C. \vec{T}=\vec{\jmath}, \vec{N}=-\vec{\imath}
  • D. \vec{T}=-\vec{\imath}, \vec{N}=-\vec{\jmath}

2.2.1 Solución

La respuesta correcta es la D.

La velocidad de la partícula en cada instante es

\vec{v}(t) = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = -\frac{5\pi}{2}\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2} t\right)\vec{\imath}+\frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2} t\right)\vec{\jmath}

que en t = 1s se reduce a

\vec{v}(1)=-\frac{5\pi}{2}\vec{\imath}

siendo el unitario en la dirección y sentido de la velocidad

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\vec{\imath}

El vector normal es el unitario ortogonal a éste y hacia adentro de la curva plana, es decir

\vec{N}=-\vec{\jmath}

como se ve en la gráfica de arriba en el momento en que la partícula pasa por el eje Y positivo.

3 Pregunta T.4

Una partícula de masa 2 kg se mueve por el eje OX de forma que cuando pasa por x = 0 su velocidad es +3 m/s. Sobre la partícula actúa una fuerza en la dirección del mismo eje, \vec{F}=F(x)\vec{\imath} cuya gráfica es la de la figura.

Archivo:calculo-trabajo-01.png

¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando pasa x=10 m?

  • A. +5m/s.
  • B. +3m/s.
  • C. Es imposible que llegue a ese punto.
  • D. +11m/s.

3.1 Solución

La respuesta correcta es la C.

Aplicando el teorema de las fuerzas vivas tenemos que

\Delta K = W\qquad\Rightarrow\qquad K(B)-K(A) = \int_A^B F\,\mathrm{d}x

La energía cinética inicial vale

K(A) = \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}2\cdot 3^2\mathrm{J}=9\,\mathrm{J}

y el trabajo que se realiza sobre la partícula si recorre toda la distancia es el área entre la curva y el eje. Esta integral es negativa en este caso porque la fuerza lo es. Es decir, puesto que la fuerza es negativa se opone al movimiento de la partícula y reduce su energía cinética

W=\int_A^BF\,\mathrm{d}x = -16\,\mathrm{J}
Archivo:calculo-trabajo-02.png

Por tanto, la energía cinética final sería

K(B) = 9\,\mathrm{J}-16\,\mathrm{J}=-7\,\mathrm{J}

lo cual es imposible, ya que la energía cinética nunca puede ser negativa. Lo que ocurre realmente es que, al ser la fuerza opuesta al movimiento, llega un momento en que la detiene del todo y le da la vuelta. La partícula nunca llega a x=10\,\mathrm{m}. El punto de retorno se dará en el momento en que el área entre la curva y el eje llegue a -9J.

4 Pregunta T.5

Se tienen dos cilindros macizos de acero, tales que su altura es la misma y sus radios cumplen R2 = 2R1. ¿Cuál es la proporción entre los momentos de inercia de ambas respecto a sus respectivos ejes, I2 / I1?

  • A. 2
  • B. 32
  • C. 4
  • D. 16

4.1 Solución

La respuesta correcta es la D.

El momento de inercia de un cilindro macizo es

I = \frac{1}{2}MR^2

Siendo la masa del cilindro

M = ρV = πρR2H

En este caso tenemos dos cilindros de la misma densidad de masa (ya que están hecho del mismo material, por lo que la proporción entre sus momentos de inercia es

\frac{I_2}{I_1}=\frac{M_2R_2^2}{M_1R_1^2}= \frac{\pi \rho R_2^4 H}{\pi\rho R_1^4 H}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^4 = 16

5 Pregunta T.6

¿Qué dice la primera ley de Newton?

  • A. Una partícula sobre la que no se aplica ninguna fuerza se va frenando progresivamente hasta llegar a detenerse.
  • B. Una partícula no sometida a ninguna fuerza permanece en su estado de reposo o de movimiento uniforme.
  • C. Si una partícula no está sometida a ninguna fuerza permanece en reposo.
  • D. La aceleración que adquiere una partícula es proporcional a la fuerza neta que se aplica sobre ella.

5.1 Solución

La respuesta correcta es la B.

6 Pregunta T.7

Para una partícula sometida a fuerzas conservativas y no conservativas, que desarrollan potencias Pc y Pnc, respectivamente. Indique a qué equivale la cantidad

\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(K+U\right)
  • A. Pc
  • B. Pc + Pnc
  • C. 0
  • D. Pnc

6.1 Solución

La respuesta correcta es la D.

El teorema de las fuerzas vivas establece que la variación de la energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula

\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P=P_\mathrm{c}+P_\mathrm{nc}

Si entre estas fuerzas hay algunas conservativas, la potencia desarrollada por estas se corresponde con la disminución de la energía potencial

P_\mathrm{c}=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}

Sustituyendo esto en el teorema de las fuerzas vivas queda que la variación de la energía mecánica se debe exclusivamente a la potencia de las fuerzas no conservativas

\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(K+U\right) = P_\mathrm{nc}

7 Preguntas T.8 y T.9

Un proyectil de masa 4kg se mueve horizontalmente con velocidad de 6m/s. En un momento dado explota en dos fragmentos, uno de los cuales tiene una masa de 1kg y sale despedido hacia atrás con velocidad −6m/s.

7.1 Pregunta T.8

¿Cuál es la velocidad del segundo fragmento tras la explosión?

  • A. 10m/s
  • B. 0m/s
  • C. 6m/s
  • D. 18m/s

7.1.1 Solución

La respuesta correcta es la A.

La explosión se produce a causa de fuerzas internas, por lo que se conserva la cantidad de movimiento. Al ser el problema unidimensional podemos emplear cantidades escalares

M = m_1+m_2\qquad\qquad M v_i =m_1v_{1f}+m_2v_{2f}

Despejando de aquí

v_{2f}=\frac{Mv_i-m_1v_{1f}}{M-m_1}=\frac{4\times 6 -1\times(-6)}{4-1}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\frac{30}{3}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

7.2 Pregunta T.9

En este proceso la energía cinética del sistema…

  • A. Cambia de signo.
  • B. Permanece constante.
  • C. Disminuye.
  • D. Aumenta.

7.2.1 Solución

La respuesta correcta es la D.

Este proceso es el inverso de una colisión completamente inelástica. En esa colisión, dos piezas se funden en una sola, produciéndose una pérdida de energía cinética. En la explosión, una sola masa se divide en dos, produciéndose un aumento de energía cinética del sistema.

El cálculo es inmediato

\Delta K = K_f-K_i = \left(\frac{1}{2}m_1v_{1f}^2+\frac{1}{2}m_2v_{2f}^2\right)-\left(\frac{1}{2}Mv_i^2\right) = \left(\frac{1}{2}1\times 6^2 +\frac{1}{2}3\times 10^2-\frac{1}{2}4\times 6^2\right)\mathrm{J}=96\,\mathrm{J}>0

Podemos preguntarnos por el origen de esta energía cinética extra. Procede de la energía interna almacenada en el sistema. Típicamente energía química liberada en la reacción explosiva.

8 Pregunta T.10

La velocidad instantánea de una partícula en un movimiento rectilíneo sigue la gráfica en forma de trapecio de la figura. ¿Cuanto vale su velocidad media en el intervalo entre t = 0\,\mathrm{s} y t = 8\,\mathrm{s}?

Archivo:trapecio-velocidad-01.png
  • A. 2.5 m/s
  • B. 4.0 m/s
  • C. 3.0 m/s
  • D. 2.0 m/s

8.1 Solución

La respuesta correcta es la B.

La velocidad media es el desplazamiento total dividida por el tiempo empleado en realizarlo

v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}

A su vez, el desplazamiento total es la suma, esto es, la integral, de los desplazamientos en cada instante

\Delta x = \int_0^T v\,\mathrm{d}t

La integral la podemos calcular gráficamente hallando el área bajo la curva. Esto puede hacerse de diferentes maneras, todas sencillas. Por ejemplo, descomponiendo en triángulos y rectángulos, moviendo partes hasta formar rectángulos, etc. El resultado final es

Archivo:trapecio-velocidad-02.png
\Delta x = \left(\left(\frac{1}{2}2\times 4+2\right)+4\times 5+ \left(\frac{1}{2}2\times 4+2\right)\right)\mathrm{m} = 32\,\mathrm{m}

lo que nos da la velocidad media

v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{32\,\mathrm{m}}{8\,\mathrm{s}}=4.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

9 Preguntas T.11 y T.12

Un sólido describe un movimiento plano de forma que el origen de coordenadas tiene una velocidad \vec{v}_O=60\vec{\imath}+A\vec{\jmath} (cm/s), estando el centro instantáneo de rotación en \vec{r}_I=4\vec{\imath}+3\vec{\jmath} (cm).

9.1 Pregunta T.11

¿Cuánto vale la constante A?

  • A. −80
  • B. 0
  • C. 45
  • D. No hay información suficiente para saberlo.

9.1.1 Solución

La respuesta correcta es la A.

La velocidad de los puntos de un sólido en un movimiento plano cumplen la fórmula general

\vec{v}_A = \vec{\omega}\times \overrightarrow{IA}

siendo \vec{\omega} la velocidad angular instantánea e \overrightarrow{IA} el vector de posición relativo respecto al centro instantáneo de rotación. El producto vectorial implica que

\vec{v}_A\cdot\overrightarrow{IA}=0

ya que se trata de vectores ortogonales. En nuestro caso tenemos

\vec{v}_O=60\vec{\imath}+A\vec{\jmath}\qquad\qquad \overrightarrow{IO}= \vec{r}_O-\vec{r}_I=-4\vec{\imath}-3\vec{\jmath}

Imponiendo la ortogonalidad

0=60\times(-4)+A\times(-3)\qquad\Rightarrow\qquad A = -80

También se puede llegar a este resultado gráficamente, ya que la ortogonalidad implica que la componente en \vec{\jmath} debe ser negativa y la única que cumple esto es -80.

Archivo:movimiento-plano-test-01.png

9.2 Pregunta T.12

¿Y la velocidad angular del sólido, en rad/s?

  • A. \vec{\omega}=-500\vec{k}
  • C. \vec{\omega}=-20\vec{k}
  • B. \vec{\omega}=+20\vec{k}
  • D. No hay información suficiente para saberlo.

9.2.1 Solución

La respuesta correcta es la C.

De la forma del campo de velocidades ilustrado en la figura anterior se ve que el sólido está efectuando una rotación en sentido antihorario alrededor del eje Z, por lo que la velocidad angular debe ser positiva. La única respuesta que cumple esto en la C. No obstante, podría ser que no tuviéramos información para determinarlo. De hecho, no solo la tenemos, sino que nos sobra. Aplicando la expresión del campo de velocidades

\vec{v}_O = \vec{\omega}\times\overrightarrow{IO}

nos queda, suponiendo que no hemos determinado el valor de A)

60\vec{\imath}+A\vec{\jmath} = (\omega\vec{k})\times(-4\vec{\imath}-3\vec{\jmath})=3\omega\vec{\imath}-4\omega\vec{\jmath}

Igualando componente a componente

60 = 3\omega\qquad\qquad A = -4\omega\qquad\Rightarrow\qquad \omega = +20,\qquad A = -80

es decir, no solo podemos hallar ω sino también calcular A si no lo hubiéramos calculado antes.

10 Pregunta T.13

Sobre un oscilador armónico amortiguado de frecuencia propia ω0 y constante de amortiguamiento β actúa una fuerza oscilante F = F0cos(Ωt). El resultado final son oscilaciones con frecuencia…

  • A. 0 + Ω) / 2
  • C. ω0
  • B. Ω
  • D. \sqrt{\omega_0^2-\beta^2}

10.1 Solución

La respuesta correcta es la C.

Es la principal consecuencia de la teoría de oscilaciones forzadas: Un oscilador armónico sometido a una fuerza oscilante experimenta un periodo transitorio inicial, seguido de un estado permanente en el cual oscila con la frecuencia de la fuerza aplicada, no la propia.

11 Pregunta T.14

Tres proyectiles se lanzan desde lo alto de una torre de altura H y con la misma rapidez inicial v0. El proyectil 1 se lanza con un ángulo de elevación 30° respecto a la horizontal, el 2 en dirección puramente horizontal y el 3 con uno de 30° por debajo de la horizontal. ¿Cuál de los tres tendrá una mayor rapidez cuando impacte con el suelo, situado en z = 0? Despréciese el rozamiento con el aire.

  • A. El 1.
  • C. El 2.
  • B. El 3.
  • D. Las tres la misma

11.1 Solución

La respuesta correcta es la D.

La respuesta es una consecuencia inmediata de la conservación de la energía mecánica. Igualando la energía mecánica inicial a la final tenemos

\frac{1}{2}mv_0^2 + mgH = \frac{1}{2}mv_f^2

y despejando de aquí resulta la rapidez final

v_f = \sqrt{v_0^2 + 2gH}

Vemos que este resultado es independiente del ángulo de lanzamiento y de la masa del proyectil. La rapidez final solo depende de la rapidez inicial y de la altura de la torre, que es igual para los tres proyectiles.

12 Pregunta T.15

Una partícula se mueve sometida exclusivamente a su propio peso y en un momento dado su velocidad es \vec{v}. ¿Cuánto vale su aceleración tangencial en ese instante?

  • A. a_t=\vec{g}\cdot\vec{v}/|\vec{v}|
  • C. a_t=(\vec{g}\times\vec{v})/|\vec{v}|
  • B. at = 0
  • D. \vec{a}_t=\vec{g}

12.1 Solución

La respuesta correcta es la A.

La aceleración de la partícula en todo instante es la de la gravedad

\vec{a}=\vec{g}

y la aceleración tangencial es la proyección de esta aceleración en la dirección de la velocidad

a_t = \vec{a}\cdot\vec{T}=\frac{\vec{g}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}

13 Pregunta T.16

¿Cuál de los siguientes no es un tipo de movimiento de un sólido que se apoya en otro?

  • A. Empotramiento.
  • B. Rodadura.
  • C. Pivotamiento.
  • D. Deslizamiento.

13.1 Solución

La respuesta correcta es la A.

El movimiento de dos sólidos en contacto se descompone en tres elementos: deslizamiento, rodadura y pivotamiento. El empotramiento no es un tipo de movimiento. De hecho, representa el caso en que un sólido está obligado a encontrarse en reposo respecto a otro.

14 Problema 1: Caso particular de dos resortes enfrentados

Una masa m=1.00\,\mathrm{kg} se encuentra atada a dos paredes separadas una distancia d= 50\,\mathrm{cm} mediante dos resortes, uno (el de la izquierda) con constante de recuperación k_1=64\,\mathrm{N}/\mathrm{m} y longitud natural l_{10}=16\,\mathrm{cm}, y el otro con constante k_2=36\,\mathrm{N}/\mathrm{m} y longitud natural l_{20}=9\,\mathrm{cm}. El conjunto se encuentra sobre una superficie horizontal sin rozamiento, de forma que el peso puede ser ignorado.

Archivo:masa-dos-muelles.png
  1. Determine la distancia de la masa a las dos paredes cuando se encuentra en la posición de equilibrio. ¿Qué fuerza ejerce cada muelle sobre la masa?
  2. Si estando en la posición de equilibrio se comunica una velocidad de 0.20 m/s a la masa hacia la derecha, ¿cuál es la amplitud de las oscilaciones que describe? ¿Y su frecuencia angular ω?
  3. Suponga de nuevo que la masa se encuentra en reposo en la posición de equilibrio y bruscamente se corta su unión con el muelle 2. ¿Que amplitud tienen las oscilaciones de la masa y qué frecuencia angular?
  4. Si en el apartado anterior, el muelle que se corta es el 1, manteniéndose la unión con el 2, ¿se producen oscilaciones? ¿Con qué amplitud y frecuencia natural?

15 Problema 2: Equilibrio de una tabla

Se tiene una plataforma de masa m = 6.0\,\mathrm{kg} y longitud L = 2.00\,\mathrm{m} (estando la masa distribuida uniformemente) que se apoya horizontalmente sobre dos caballetes de forma que los puntos de apoyo A y B están a 60 cm y 20 cm del centro C de la tabla, respectivamente.

Archivo:mesa-caballetes.png
  1. Calcule la fuerza que cada caballete ejerce sobre la tabla.
  2. Halle el valor máximo de la masa que se puede apoyar en el borde izquierdo de la plataforma si no se quiere que esta vuelque.
  3. Suponga que sobre el extremo derecho de la plataforma se apoya una masa de 2.2 kg. ¿Volcará la tabla? Si es así, determine la aceleración angular que adquiere la tabla el comenzar a girar en torno al punto de apoyo, así como la fuerza que ejerce ese caballete sobre la mesa en el instante en que empieza a volcar.

Tómese g = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

Dato: Momento de inercia de una barra de masa m y longitud L respecto a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro: I = mL2; / 12.

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