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Solenoide que se mueve en el interior de otro

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dos estrechas bobinas cilíndricas de la misma longitud h\,, tienen radios a\, y b\,, mucho menores que su longitud a<b\ll h); las bobinas son coaxiales pero se hallan desplazadas una longitud s\,, y están formadas por la misma cantidad de espiras compactas N=nh\,, enrolladas en el mismo sentido. Las resistencias eléctricas de las bobinas son R_1\, para la bobina interior y R_2\, para la exterior.

Image:sintonizador.gif
  1. Despreciando los efectos de borde, determine sus respectivos coeficientes de autoinducción L1 y L2, así como el de inducción mutua M y el de acoplamiento k.
  2. La bobina exterior se halla conectada a un generador de fuerza electromotriz en rampa \mathcal{E} = A t, mientras que la bobina interna se mantiene en circuito abierto. Obtenga el comportamiento en el tiempo de la intensidad I2(t) en la bobina exterior (suponga una expresión de la forma I2 = kt + c).
  3. Al mismo tiempo, la bobina interior se extrae con velocidad constante v0, de forma que s = v0t. Calcule la tensión V1(t) entre los extremos de esta bobina para t > 0.

2 Coeficientes de inducción mutua y autoinducción

2.1 Coeficientes de autoinducción

Si suponemos despreciables los efectos de borde, de forma que se puede suponer que, para cada bobina

\mathbf{B}=\begin{cases} \mu_0 n I\mathbf{u}_z & \mathbf{r}\in\tau \\ \mathbf{0} & \mathbf{r}\not\in\tau\end{cases}

siendo τ el volumen interior a cada una.

A partir de este campo obtenemos los coeficientes de autoinducción

L_1 =\frac{\mu_0N^2\pi a^2}{h}        L_2 =\frac{\mu_0N^2\pi b^2}{h}

2.2 Coeficiente de inducción mutua

Para hallar el coeficiente de inducción mutua debemos tener en cuenta que no toda la bobina interior está dentro de la exterior y por tanto a la hora de hallar el flujo, debemos contar un número de espiras menor a N, en proporción a la longitud sumergida.

\Phi = \left(\frac{N s}{h}\right)\Phi_i =  \frac{\mu_0 N^2\pi a^2 s}{h^2}I

de donde obtenemos el coeficiente

M = \frac{\mu_0 N^2\pi a^2s}{h^2}

En forma matricial

\left(L_{ikl}\right) = \frac{\mu_0N^2\pi a}{h}\begin{pmatrix} a^2 & a^2s/h \\ a^2s/h & b^2\end{pmatrix}

3 Corriente inducida

4 Tensión en la bobina

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