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Sistema simétrico de cuatro conductores

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Considere el sistema de cuatro conductores de la figura. Está formado por cuatro superficies esféricas situadas dos dentro de las otras dos (no concéntricamente). En este sistema, los conductores 1 y el 2 son simétricos con el 4 y el 3, respectivamente.

Para este sistema, ¿qué coeficientes de capacidad e inducción son nulos? ¿Cuáles positivos? ¿Cuáles negativos? ¿Cuáles iguales entre sí?

Suponga que mediante finos hilos conductores se conecta el conductor 1 con el 3, y el 2 con el 4 (estos cables atraviesan, sin hacer contacto, los conductores 2 y 3). ¿Cómo queda la nueva matriz de capacidades a partir de la matriz del sistema original?

2 Introducción

En este problema no se trata de establecer los valores exactos de los coeficientes, sino algunas de sus propiedades. Por ello, la geometría exacta es menos importante que la topología del problema, esto es, qué conductores están contenidos por cuáles.

3 Simetría 1–4 y 2–3

Dada la simetría especular del sistema, lo más inmediato es determinar cuáles de los coeficientes de capacidad son iguales entre sí. De entrada, la matriz de coeficientes de capacidad es simétrica. Los coeficientes serán iguales si hacemos la permutación 1\leftrightarrow 4 y 2\leftrightarrow 3. Obtenemos las siguientes equivalencias

C_{11} = C_{44}\,        C_{22} = C_{33}\,        C_{12} = C_{21} = C_{34} = C_{43}\,        C_{13} = C_{31}  = C_{42} = C_{24}\,    C_{14} = C_{41}\,        C_{23} = C_{32}\,

lo que nos reduce la matriz de coeficientes de capacidad a


\mathbf{\mathsf{C}}=\begin{pmatrix}C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14}\\ C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{13}\\ C_{13} & C_{23} & C_{22} & C_{12} \\ C_{14} &C_{13} & C_{12} & C_{11}\end{pmatrix}

4 Apantallamiento

De entre estos coeficientes, serán nulos aquellos que relacionen dos conductores apantallados por un tercero. Por ello,

C_{13} = C_{14} = C_{24} = 0\,

Además, dado que el conductor 1 está en posición de influencia total respecto al 2, se cumple la relación

C_{12}=-C_{11}\,

quedando pues que toda la matriz puede expresarse en términos de tres coeficientes

\mathbf{\mathsf{C}}=\begin{pmatrix}C_{11} & -C_{11} & 0 & 0\\ -C_{11} & C_{22} & C_{23}
& 0\\ 0 & C_{23} & C_{22} & -C_{11} \\ 0 & 0 & -C_{11} & C_{11}\end{pmatrix}

5 Signos

De los coeficientes que quedan, serán positivos aquellos que relacionen a un conductor consigo mismo

C_{11}>0\,        C_{22}>0\,

Serán negativos aquellos que relacionen a un conductor con los demás.

C_{12}<0\,        C_{23}<0\,

6 Conexiones

6.1 Empleando las cargas y tensiones

Cuando se unen los conductores por hilos ideales pasamos a tener un sistema de sólo dos conductores, también simétrico. El conductor 1' es la unión del 1 y del 3, mientras que el 2' une al 2 con el 4. Estas relaciones se pueden expresar matemáticamente por

Q_{1'}=Q_{1}+Q_{3}\,     V_{1'}=V_{1}=V_3\,            Q_{2'}=Q_2+Q_4\,        V_{2'}=V_2=V_4\,

Sustituyendo las relaciones entre las cargas y los potenciales en el sistema original resulta

C_{1'1'}=C_{2'2'}=C_{11}+C_{22}\,    C_{1'2'}=C_{2'1'}=2C_{12}+C_{23}\,

donde se ha tenido en cuenta que algunos coeficientes se anulan y otros son iguales entre sí.

6.2 Usando álgebra matricial

Una forma alternativa y más directa de obtener la nueva matriz de coeficientes de capacidad es por métodos matriciales. Para representar las conexiones, introducimos una matriz \mathbf{\mathsf{T}}, obtenida a partir de la matriz identidad, uniendo las filas de aquellos conductores que se conectan. En nuestro caso, en que se conectan el 1 con el 3 para formar el 1', y los dos restantes para construir el 2', esta matriz sería

\mathbf{\mathsf{T}}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}

Definida esta matriz (que será diferente en cada problema, dependiendo de las conexiones que se efectúen), la nueva matriz de coeficientes de capacidad se calcula como

\mathbf{\mathsf{C}}'=\mathbf{\mathsf{T}}\cdot\mathbf{\mathsf{C}}\cdot\mathbf{\mathsf{T}}^t

En nuestro caso

\mathbf{\mathsf{C'}}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}{\cdot}
\begin{pmatrix}C_{11} & -C_{11} & 0 & 0\\ -C_{11} & C_{22} & C_{23}
& 0\\ 0 & C_{23} & C_{22} & -C_{11} \\ 0 & 0 & -C_{11} & C_{11}\end{pmatrix}{\cdot}
\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}C_{11}+C_{22} & -2C_{11}+C_{23} \\ -2C_{11}+C_{23} &
C_{11}+C_{22}\end{pmatrix}

6.3 Mediante un circuito equivalente

Una tercera forma de resolver el problema es usando un circuito equivalente. Vemos que el sistema puede sustituirse por cinco condensadores: dos idénticos \overline{C}_{12}, que unen el conductor 1 con el 2 y el 3 con el 4, respectivamente: otros dos de valor \overline{C}_{22} que unen el 2 con tierra y el 3 con tierra; y el último, \overline{C}_{23}, que une el conductor 2 con el 3. A partir de estas capacidades resultan los coeficientes de capacidad
C_{11}=\overline{C}_{12}        C_{12}=-\overline{C}_{12}        C_{22}=\overline{C}_{12}+\overline{C}_{22}+\overline{C}_{23}        C_{23}=-\overline{C}_{23}

Las uniones 1—3 y 2—4 reducen el sistema mediante la asociación en paralelo de tres de los cinco condensadores, obteniéndose las nuevas capacidades simplemente sumando,

\overline{C}_{1'1'} = \overline{C}_{2'2'}=\overline{C}_{22}        \overline{C}_{1'2'}=2\overline{C}_{12}+\overline{C}_{23}        

y, conocidas las capacidades y autocapacidades hallamos los coeficientes de capacidad e inducción

Imagen:circuito4conductores2.png    Imagen:circuito4conductores3.png
C_{1'1'}=C_{2'2'}= \overline{C}_{1'1'} = \overline{C}_{22}+2\overline{C}_{12}+\overline{C}_{23}        C_{1'2'}=-\overline{C}_{1'2'}=-2\overline{C}_{12}-\overline{C}_{23}

Sustituyendo ahora las capacidades en función de los coeficientes de capacidad originales

C_{1'1'} = (C_{12}+C_{22}+C_{23})+2(-C_{12})+(-C_{23}) = C_{22}-C_{12}=C_{11}+C_{22}\,        

C_{1'2'}=-\overline{C}_{1'2'}=-2\overline{C}_{12}-\overline{C}_{23}= 2C_{12}+C_{23}

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