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Sistema de dos condensadores en paralelo (F2GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dos condensadores planos, ambos de la misma sección y con aire entre los planos, tienen capacidades eléctricas C_1 = 6\,\mathrm{nF}\, y C_2 = 3\,\mathrm{nF}\,. Los condensadores están conectados formando una asociación en paralelo, que se mantendrá en todo momento. La asociación descrita se conecta a una batería adquiriendo los condensadores una diferencia de potencial \Delta V=6\,\mathrm{V}\,. Después, se desconecta la asociación de la batería y se rellena todo el espacio existente entre las placas del segundo condensador (C2) con un material de constante dieléctrica κ desconocida, y que soporta un campo eléctrico de 12\,\mathrm{kV/mm} antes de la ruptura dieléctrica.

  1. ¿Cuál debe ser el valor de κ para que la nueva diferencia de potencial en los condensadores de la asociación sea \Delta V' = 2\,\mathrm{V}\,?
  2. Teniendo en cuenta que el aire sólo soporta un campo de 3\,\mathrm{kV/mm}\,, calcular la relación entre la energía máxima que puede almacenar la asociación en paralelo de los dos condensadores en la situación final (cuando el segundo condensador está relleno del dieléctrico), y la energía máxima correspondiente a la situación inicial de los condensadores con aire.

2 Solución

Al estar asociados en paralelo, cada conductor de un condensador será equipotencial con uno de los conductores del otro. De esta forma, al conectar el sistema a una batería, en ambos condensadores existirá idéntica diferencia de potencial ΔV. En consecuencia, cada condensador adquirirá la carga correspondiente a su capacidad. Si la diferencia de potencial provocada por la batería es de 6\,\mathrm{V}\,, dichas cargas serán:

Q_1=C_1\!\ \Delta V= 36\,\mathrm{nC}\ \mathrm{;}\,\quad Q_2=C_2\!\ \Delta V= 18\,\mathrm{nC}

Al desconectar la batería, estas cargas permanecen en los conductores, de manera que también se mantendrá la diferencia de potencial \Delta V=6\,\mathrm{V}\,. Por otra parte, la capacidad de la asociación será igual a la relación entre la carga total que hay en el conductor resultante de conectar las placas de los dos condensadores, y la diferencia de potencial existente:

C=\frac{Q}{\Delta V}=\frac{Q_1+Q_2}{\Delta V}=C_1+C_2=9\,\mathrm{nF}\,

2.1 Valor de la constante dieléctrica

Cuando introducimos un medio dieléctrico rellenando completamente el espacio existente entre los conductores del condensador “2”, la capacidad de éste se multiplica por factor κ, que es el valor de la constante dieléctrica, característica del medio. Obviamente, esto hará que cambie la capacidad de la asociación, pero si ésta se encuentra aislada (no conectada a una batería o conductor con los que pueda intercambiar carga), la cantidad de carga total en los conductores conectados debe seguir siendo la misma Q. En consecuencia, la diferencia de potencial en la asociación debe cambiar a un valor \Delta V'\neq\Delta V, de manera que...

\displaystyle (C_1+\kappa C_2)\Delta V'=Q'_1+Q'_2=Q=Q_1+Q_2=54\,\mathrm{nC}\,

Sustiyendo en esta expresión de los valores de las capacidades de los condesadores rellenos de aire y la diferencia de potencial requerida, \Delta V'=2\,\mathrm{V}\,, se obtiene el valor que debe tener la constante dieléctrica del material:

\kappa=\frac{1}{C_2}\ \left(\frac{Q}{\Delta V'}-C_1\right)\;\;\longrightarrow\;\;\kappa=7

2.2 Relación entre energías máximas almacenadas

En cada configuración de la asociación (sin y con dieléctrico en el condensador “2”), la energía máxima almacenada estará limitada por el valor de diferencia de potencial que provoque la ruptura dieléctrica en alguno de los condensadores. Sean U_e^0 y U_e^\kappa los respectivos valores de energía en dichas configuraciones; se tendrá,

U_e^0<\frac{1}{2}\!\ \big(C_1+C_2\big) \big(\Delta V_\mathrm{rup}\big)^2\,\mathrm{;}\,\qquad U_e^\kappa<\frac{1}{2}\!\ \big(C_1+\kappa C_2\big) \big(\Delta V'_\mathrm{rup}\big)^2

Luego, hemos de determinar en cada caso cuál es la diferencia de potencial de ruptura, y en qué condensador se produce. Consideremos primero el caso de ambos condensadores rellenos de aire. Como ambos son planos, el campo eléctrico es uniforme y perpendicular a las placas. Por tanto, en cada uno de los condensadores la diferencia de potencial entre éstas será igual a la intensidad del campo eléctrico existente en los conductores, multiplicado por la distancia di que los separa:

\Delta V=\int_{C_i}\! \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=E_id_i

Por otra parte, nos dicen que ambos condensadores planos tienen igual sección, luego si rellenos de aire tienen distinta capacidad es por que las distancias entre placas son distintas. Concretamente,

C_1=\frac{\varepsilon_0\!\ S}{d_1}=2\frac{\varepsilon_0\!\ S}{d_2}=2C_2\quad\Longrightarrow\quad d_2=2 d_1

Si E_\mathrm{rup}^0=3\,\mathrm{kV/mm}\, es el campo de ruptura del aire, las diferencias de potencial que provocarían esta situación en cada uno de los condensadores con aire serían:

\Delta V_\mathrm{rup}\big\rfloor_{C_2}=E_\mathrm{rup}^0 \!\ d_2>E_\mathrm{rup}^0 \!\ d_1=\Delta V_\mathrm{rup}\big\rfloor_{C_1}=\Delta V_\mathrm{rup}

Y al estar en paralelo ambos condensadores, sería el valor menor el que determinaría la ruptura dieléctrica en el sistema.

Archivo:cuest_condensador_3.gif

Al rellenar el segundo condensador con el dieléctrio de constante κ = 7 y campo de ruptura E_\mathrm{rup}^\kappa=12\,\mathrm{kV/mm}\,, se seguirá verificando en cada condensador,

\Delta V'=\int_{C_i}\! \mathbf{E'}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=E_i'd_i

y los valores de las diferencias de potencial que provocarían la ruptura serán,

\Delta V'_\mathrm{rup}\big\rfloor_{C_2}=E_\mathrm{rup}^\kappa \!\ d_2>E_\mathrm{rup}^0 \!\ d_1=\Delta V'_\mathrm{rup}\big\rfloor_{C_1}=\Delta V'_\mathrm{rup}

Es decir, el potencial de ruptura en el condensador relleno serán aún mayor que en el caso anterior, mientras que no ha cambiado en el condensador sin dieléctrico. En consecuencia, nuevamente es éste último el que determina la ruptura del sistema, ¡para el mismo valor de diferencia de potencial que en el caso sin dieléctrico! Por tanto, la relación entre las energías máximas que se pueden almacenar en ambas configuraciones está determinada exclusivamente por la relación entre los valores de las capacidades de la asociación:

\Delta V_\mathrm{rup}=E_\mathrm{rup}^0\!\ d_1=\Delta V'_\mathrm{rup}\;\;\Longrightarrow\;\;\frac{U_e^\kappa}{U_e^0}\bigg\rfloor_\mathrm{max}=\frac{(C_1+\kappa C_2)\big(\Delta V'_\mathrm{rup}\big)^2}{(C_1+C_2)\big(\Delta V_\mathrm{rup}\big)^2}=\frac{27\,\mathrm{nF}}{9\,\mathrm{nF}}=3

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