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Sistema de cuatro conductores prismáticos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema de cuatro conductores tal como se indica en la figura. Uno de ellos (conductor “4”) es un prisma cuadrado hueco de lado 43 mm y longitud 50 mm. Este conductor se encuentra siempre a tierra.

En su interior se encuentran tres conductores. El conductor “1” es un paralelepípedo de lados 41 mm, 20 mm y 50 mm. Los conductores “2” y “3” son sendos prismas cuadrados de lado 20 mm y altura 50 mm. la distancia entre superficies conductoras vecinas es de 1 mm.

  1. Teniendo en cuenta la pequeñez relativa de las diferentes distancias calcule, aproximadamente, las cargas que almacenan los conductores 1, 2 y 3, cuando sus tensiones son V_1=10\,\mathrm{V}, V_2=20\,\mathrm{V} y V_3=-10\,\mathrm{V}.
  2. Para la configuración anterior, calcule la energía electrostática almacenada en el sistema.
  3. Si el conductor 1 se encuentra a tensión V_1=100\,\mathrm{V}, el 2 aislado y descargado y el 3 a tierra, ¿cuáles son las cargas y los potenciales de los tres conductores? ¿Y la energía electrostática almacenada en el sistema?

2 Carga en cada conductor

Lo que se pide en este apartado es hallar la carga en cada conductor conocidas las tensiones de cada uno. Para calcularlas necesitamos los coeficientes de capacidad, que relacionan ambas magnitudes en forma matricial

\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}C_{11} & C_{12} & C_{13}\\ C_{12} & C_{22} & C_{23} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3\end{pmatrix}

En este caso tenemos realmente cuatro conductores, contando el exterior, pero dado que este rodea a los otros tres y se encuentra permanentemente a tierra, puede ser tratado como el infinito, y no incluirse en los cálculos explícitamente.

La forma más rápida de hallar los coeficientes de capacidad en este problema es mediante un circuito equivalente.

En primer lugar colocamos un nodo por cada conductor, lo cual nos da tres nodos, más la referencia de tierra.

A continuación colocamos un condensador entre cada par de nodos. Estos condensadores representan la contribución de las líneas de campo que van de un conductor a otro. Dadas las dimensiones de los bloques, podemos aproximar estos condensadores por unos de placas planas y paralelas, despreciando los efectos de borde en las esquinas de cada prisma. Sea
b = 20\,\mathrm{mm}    L = 50\,\mathrm{mm}    a =1\,\mathrm{mm}

entonces los condensadores que el conductor 1 forma con el 2 y el 3 son iguales entre sí y a

\overline{C}_{12}=\overline{C}_{13}=\frac{\varepsilon_0bL}{a}\equiv C_0 \simeq 8.85\,\mathrm{pF}

El que forma el 2 con el 3 tiene también el mismo valor

\overline{C}_{23}=\frac{\varepsilon_0bL}{a}= C_0

Ahora hay que añadir los condensadores que cada conductor forma con la tierra del sistema. Para los conductores 2 y 3 este condensador es aproximadamente igual a dos condensadores C0 puestos en paralelo, mientras que para el conductor 1 la capacidad es aproximadamente igual a 4C0, esto es

\overline{C}_{22}=\overline{C}_{33}\simeq 2C_0    \overline{C}_{11}\simeq4C_0

Por tanto, la carga en cada nodo será igual a

Q_1 = \overline{C}_{11}V_1+\overline{C}_{12}(V_1-V_2)+\overline{C}_{13}(V_1-V_3) = C_0(6V_1-V_2-V_3)    

Q_2 = \overline{C}_{22}V_2+\overline{C}_{12}(V_2-V_1)+\overline{C}_{23}(V_2-V_3) = C_0(-V_1+4V_2-V_3)    

Q_3 = \overline{C}_{33}V_3+\overline{C}_{13}(V_3-V_1)+\overline{C}_{23}(V_3-V_2) = C_0(-V_1-V_2+4V_3)

o, en forma matricial,

\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3\end{pmatrix} = C_0\begin{pmatrix}6 & -1 & -1\\ -1 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3\end{pmatrix}

Para hallar las cargas en cada conductor, basta sustituir ahora las tensiones de cada uno.

\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3\end{pmatrix} = 8.85\begin{pmatrix}6 & -1 & -1\\ -1 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}10 \\ 20 \\ -10\end{pmatrix}\,\mathrm{pC}=\begin{pmatrix}0.44 \\ 0.71 \\ -0.62\end{pmatrix}\,\mathrm{nC}

La carga en el conductor interior será igual a la suma de los tres interiores, cambiada de signo

Q_4=-Q_1-Q_2-Q_3 = -0.53\,\mathrm{nC}

3 Energía almacenada

Una vez que conocemos las cargas y los potenciales de cada conductor, tenemos la energía

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}Q_1 & Q_2 & Q_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1\\ V_2\\V_3\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}0.44 & 0.71 & -0.62\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}10\\ 20\\-10\end{pmatrix}=12\,\mathrm{nJ}

Si empleamos sólo el vector de los potenciales el cálculo es

U_\mathrm{e}=\frac{C_0}{2}\begin{pmatrix}V_1 & V_2 & V_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6 & -1 & -1\\ -1 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1\\ V_2\\V_3\end{pmatrix}=\frac{C_0}{2}\left(6V_1^2-2V_1V_2-2V_1V_3+4V_2^2-2V_2V_3+4V_3^2\right)

Si usamos el circuito equivalente será

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\left(4C_0V_1^2+2C_0V_2^2+2C_0V_3^2 +C_0(V_1-V_2)^2 + C_0(V_1-V_3)^2+C_0(V_2-V_3)^2\right)

4 Cargas y potenciales

Si lo que nos dan son los datos

V_1=100\,\mathrm{V}        Q_2=0\,\mathrm{V}        V_3=0\,\mathrm{V}

debemos despejar el resto de las incógnitas: Q1, V2 y Q3. Para la segunda tenemos

0 = Q_2 = C_0(-V_1+4V_2-V_3)\,   \Rightarrow   V_2 = \frac{V_1+V_3}{4}=25\,\mathrm{V}

Una vez conocidas las tres tensiones, hallamos las cargas como antes

\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3\end{pmatrix} = 8.85\begin{pmatrix}6 & -1 & -1\\ -1 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}100 \\ 25 \\ 0\end{pmatrix}\,\mathrm{pC}=\begin{pmatrix}5.09 \\ 0.00 \\ -1.11\end{pmatrix}\,\mathrm{nC}

La nueva energía es simplemente

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1 +\frac{1}{2}\overbrace{Q_2}^{=0}V_2+\frac{1}{2}Q_3\overbrace{V_3}^{=0}=\frac{Q_1V_1}{2} = 254\,\mathrm{nJ}

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