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Segunda Convocatoria Ordinaria 2012/13 (G.I.A.)

De Laplace

Partícula sobre una circunferencia con un muelle

Una pequeña bolita P , de masa ,m está insertada en un aro de centro O y radio ,R fijado en el plano vertical OXY .La partícula está sometida a la acción de la gravedad, que actúa en la dirección del eje OX \vec{g}=g\,\vec{\imath} , y a la de un resorte de longitud natural nula y constante recuperadora k, que tiene su otro extremo fijado en el punto del aro cuyas coordenadas son A( − R,0,0). El rozamiento entre la bolita y el aro no es despreciable, estando caracterizado por un coeficiente de rozamiento cuyo valor μ es prácticamente el mismo, tanto en el caso de equilibrio estático de la partícula, como cuando ́ésta se desplaza insertada en el aro.

Utilizando el ángulo θ para describir la posición de la partícula P..

  1. Obtenga la fuerza resultante (incluida la reacción vincular) que actúa sobre la partícula, expresada en el triedro intrínseco.
  2. Si los valores de los parámetros son tales que mg = kR, obtenga las expresiones matemáticas que definen las condiciones de equilibrio estático de la partícula y determine el rango de posiciones de equilibrio.
  3. Obtenga las ecuaciones que han de verificar en cada instante la velocidad y aceleración angulares, \dot{\theta}(t) y \ddot{\theta}(t) . Considérese de nuevo el caso mg = kR y, además, que la partícula se encuentra inicialmente en la posición θ(t) = 0, con una velocidad angular inicial


\dot{\theta}(t=0) = \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{R}}

Para dicho instante inicial, determine los valores de la fuerza de reacción vincular, de la fuerza de rozamiento y de la aceleración angular.

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