Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Rodadura permanente de un disco (GIE)

De Laplace

1 Enunciado

La rodadura permanente de un disco de radio R sobre una superficie horizontal puede describirse mediante el campo de velocidades

\vec{v}(\vec{r}) = \vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}\qquad \qquad
\vec{v}_0 = v_0\vec{\imath}\qquad\vec{\omega}=-\frac{v_0}{R}\vec{k}

donde la superficie horizontal se encuentra en y = − R.

Determine, para un instante dado, la velocidades de los puntos A, B, C y D situados en los cuatro cuadrantes del disco. ¿Cuál es el eje instantáneo de rotación?

Archivo:Disco-rodante.png

2 Solución

Para cada uno de los puntos, basta aplicar la fórmula correspondiente

Punto A
Su vector de posición relativa es
\vec{r}_A=-R\vec{\jmath}
por lo que su velocidad vale
\vec{v}_A = \vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}_A=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & -R & 0 \end{matrix}\right| = \vec{0}
Punto B
\vec{r}_B=R\vec{\imath}        \vec{v}_B = \vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}_B=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ R & 0 & 0 \end{matrix}\right| = v_0(\vec{\imath}-\vec{\jmath})
Punto C
\vec{r}_C=R\vec{\jmath}        \vec{v}_C = \vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}_C=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & R & 0 \end{matrix}\right| = 2v_0\vec{\imath}
Punto D
\vec{r}_D=-R\vec{\imath}        \vec{v}_D= \vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}_D=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ -R & 0 & 0 \end{matrix}\right| = v_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath})

Obtenemos que el punto de contacto con el suelo posee velocidad instantánea nula, mientras que el punto superior posee velocidad doble a la de avance de la rueda.

Las velocidades de los puntos O, B, C y D son perpendiculares al vector de posición relativo al punto A, como corresponde a que este se encuentre en el eje instantáneo de rotación:

\vec{v}_P = \overbrace{\vec{v}_A}^{=\vec{0}} + \vec{\omega}\times(\vec{r}_P-\vec{r}_A)=\vec{\omega}\times(\vec{r}_P-\vec{r}_A)\perp(\vec{r}_P-\vec{r}_A)

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 19:29, 12 ene 2012. - Esta página ha sido visitada 1.022 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace