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Resorte sometido a la acción de la gravedad

De Laplace

Contenido

1 Introducción

Supongamos un muelle de longitud natural l0 y constante de recuperación k que cuelga verticalmente, anclado en su parte superior. Suspendida de este muelle se encuentra una masa m.

Vamos a considerar la estática de este sistema, la dinámica de la masa, así como el balance energético.

2 Posición de equilibrio

La masa m se encuentra sometida a dos fuerzas, ambas verticales:

  • El peso, que tira hacia abajo,
\mathbf{P}=-mg\mathbf{j}\,
  • La fuerza recuperadora del muelle que irá hacia arriba (si la longitud l es mayor que la de equilibrio, l > l0) o hacia abajo (si l < l0). Teniendo en cuenta que el sentido en que aumenta l es hacia abajo, la fuerza elástica queda
\mathbf{F}_e = -k(l-l_0)(-\mathbf{j})=k(l-l_0)\mathbf{j}\,

La posición de equilibrio la da la condición de que la suma de fuerzas es igual a \mathbf{0}

\mathbf{0}=\mathbf{P}+\mathbf{F}_e=-mg\mathbf{j}+k(l-l_0)\mathbf{j}=(kl-kl_0-mg)\mathbf{j}   \Rightarrow   l_\mathrm{eq} = l_0+\frac{mg}{k}

El efecto del peso es alargar el muelle una cantidad proporcional a la masa, lo que constituye el principio de muchas balanzas.

3 Oscilaciones

Para estudiar la dinámica del sistema, elegimos un sistema de coordenadas centrado en la posición de equilibrio, con el eje Y orientado hacia arriba. De esta forma, cuando la masa se mueve verticalmente una cantidad y, la longitud del muelle es

l = l_\mathrm{eq}-y = l_0+\frac{mg}{k}-y

Suponiendo que la masa oscila solo verticalmente, la aceleración es

\mathbf{a}=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}\mathbf{j}

y la segunda ley de Newton aplicada a este caso nos da

m\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}\mathbf{j} = k(l-l_0)\mathbf{j}-mg\mathbf{j}=
k\left(l_0+\frac{mg}{k}-y-l_0\right)\mathbf{j}-mg\mathbf{j}=-ky\mathbf{j}

esto es, la masa obedece la ley de un oscilador armónico simple

m\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}=-ky

con la misma frecuencia que si no estuviera sometida a la acción del peso. Por tanto, la única influencia del peso es variar la posición de equilibrio, pero no el tipo de movimiento, que seguirá siendo un movimiento armónico simple de la misma frecuencia (pero en torno a la posición de equilibrio, no a la elongación natural del muelle).

4 Energía

En su movimiento, la masa posee tanto energía cinética como potencial. Puesto que Texto en cursivalas dos fuerzas que actúan sobre la masa son conservativas, la energía mecánica se conserva.

4.1 Energía cinética

Considerando el mismo sistema de ejes que en la sección anterior y que el movimiento es puramente vertical, la energía cinética es

E_c=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2

4.2 Energía potencial

Para la energía potencial, consideramos el origen de energía potencial gravitatoria en la posición de equilibrio, de forma que la energía potencial total es

E_p = \frac{1}{2}k(l-l_0)^2+mgy

Sustituyendo l y desarrollando

E_p = \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}-y\right)^2+mgy = \frac{1}{2}ky^2+\frac{m^2g^2}{2k}=\frac{1}{2}ky^2+E_0

E0 es una constante, independiente de la posición de la partícula y del tiempo, que por tanto no tiene consecuencias en la dinámica o en la ley de conservación de la energía. Queda entonces que la energía potencial equivale a la de un muelle de constante k que oscila en torno a la posición de equilibrio. La energía no es igual a la de dicho oscilador amónico más la energía potencial gravitatoria. Cuando se escribe en función de y (elongación respecto a la posición de equilibrio) ya incluye el término gravitatorio.

En cuanto a la constante E0 podemos ver que puede ser eliminada sin consecuencias, teniendo en cuenta que la ley de conservación de la energía se usa para comparar dos estados diferentes, de forma que se tiene

\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}ky_1^2+E_0=\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}ky_2^2+E_0

y esta ecuación es equivalente a

\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}ky_1^2=\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}ky_2^2

Por tanto, podemos decir que la energía potencial de la masa (elástica más gravitatoria) equivale a ky2 / 2.

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