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Rendimiento de un aparato de aire acondicionado

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Para refrescar una habitación se emplea un aparato de aire acondicionado con un coeficiente de despeño (COP o η) de 4. El exterior se encuentra a 34°C mientras que el interior del despacho se mantiene a 24°C. El despacho, que esta vacío, tiene una ventana de vidrio por la cual entra calor desde el exterior.

  1. Si el calor que entra por la ventana en la unidad de tiempo es Q=4224\,\mathrm{W}, calcule el trabajo por segundo (potencia) que debe realizar el aparato para mantener la temperatura interior y la cantidad de calor que es arrojada al exterior.
  2. Determine el COP máximo que podría tener un aparato de aire acondicionado que operara entre estas dos temperaturas.
  3. Halle la potencia mínima que se requeriría para extraer la misma cantidad de calor por segundo, así como la potencia extra que requiere el aparato real.
  4. Demuestre que el calor que entra por segundo en la habitación coincide con el valor dado en el primer apartado, si las dimensiones de la ventana son de 5 mm de espesor, 160 cm de ancho y 120 cm de alto. La conductividad calorífica del vidrio es k = 1.1\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  5. Si se sustituye el cristal por uno doble, formado por dos láminas de vidrio como la anterior, entre las cuales hay una capa de aire de 2 cm de espesor, con una conductividad térmica efectiva k'= 0.025\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}), ¿cómo cambian los resultados anteriores?

(Septiembre 2009, P2)

2 Trabajo y calor expulsado

El coeficiente de desempeño (COP) de una máquina frigorífica es el cociente entre lo que se saca (el calor extraido del foco frío) y lo que cuesta (el trabajo de operación de la máquina), por lo que

\mathrm{COP} = \frac{|Q_f|}{|W|}

Esta relación también se cumple en la unidad de tiempo, por lo que también se aplica al calor extraído por segundo y a la potencia del ap0arato

\mathrm{COP} = \frac{|\dot{Q}_f|}{|\dot{W}|}

de donde la potencia del aparato es

|\dot{W}| = \frac{|\dot{Q}_f|}{\mathrm{COP}}=\frac{4224\,\mathrm{W}}{4}=1056\,\mathrm{W}

Aquí el calor extraído del foco frío es el que entra por la ventana, ya que para mantener la temperatura interior, hay que ir evacuando todo lo que entra.

El calor que sale al exterior (foco caliente) en la unidad de tiempo es

|\dot{Q}_c| = |\dot{Q}_f|+|\dot{W}| = 5280\,\mathrm{W}

3 Valores máximos

El COP máximo lo obtendríamos con una máquina de Carnot que operara entre la temperatura interior y la exterior. El COP de esta máquina sería

\mathrm{COP}_\mathrm{max}=\frac{|Q_f|}{|Q_c|-|Q_f|}=\frac{T_f}{T_c-T_f} = \frac{297.15\,\mathrm{K}}{307.15\,\mathrm{K}-297.15\,\mathrm{K}}= 29.7

4 Diferencia con el valor máximo

La potencia mínima para extrae esta cantidad de calor por segundo sería

|\dot{W}|_\mathrm{min}=\frac{|\dot{Q}|_f}{\mathrm{COP}_\mathrm{max}}=\frac{4224\,\mathrm{W}}{29.7}=142.2\,\mathrm{W}

y la diferencia entre la potencia real y la ideal

|\dot{W}|-|\dot{W}|_\mathrm{min}=913.8\,\mathrm{W}

Vemos que el COP real es solo un 13% del ideal.

5 Cálculo del calor entrante

El valor del calor que entra por la ventana puede obtenerse a partir de los datos indicados.

Al tratarse de un proceso de conducción de calor, el flujo de calor a través de la ventana es

\dot{Q}=kA\frac{\Delta T}{\Delta x}

y sustituyendo los datos de la conductividad, el área y el espesor nos da

\dot{Q}=1.1\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}}\times 1.6\,\mathrm{m}\times 1.2\,\mathrm{m}\times\frac{10\,\mathrm{K}}{5\times 10^{-3}\mathrm{m}}=4224\,\mathrm{W}

6 Caso de una ventana aislante

Cuando tenemos una ventana doble, el calor debe atravesar tres capas: las dos de vidrio y la intermedia de aire.

La cantidad de calor que atraviesa las tres capas es la misma (pues si no, algo dentro de la ventana se estaría calentando o enfriando), por lo que

kA\frac{T_\mathrm{ext}-T_a}{l} = k'A\frac{T_a-T_b}{l'}= kA\frac{T_b-T_\mathrm{int}}{l}=\dot{Q}

siendo Ta y Tb las temperaturas en los dos extremos de la capa de aire y l' el espesor de esta capa (l es el espsor de las láminas de vidrio). Aquí \dot{Q} no es la entrada de calor del primer apartado, sino la nueva entrada de calor que queremos calcular.

Despejando de las igualdades anteriores

T_\mathrm{ext}-T_a = \frac{l\dot{Q}}{kA}        T_a-T_b = \frac{l'\dot{Q}}{k'A}        T_b-T_\mathrm{int} = \frac{l\dot{Q}}{kA}

Sumando las tres ecuaciones

\Delta T = T_\mathrm{ext}-T_\mathrm{int}=\left(\frac{2l}{kA}+\frac{l'}{k'A}\right)\dot{Q}    \Rightarrow    \dot{Q}=\frac{kk'A\Delta T}{2lk'+l'k}

Sustituyendo los valores numéricos

\dot{Q}=23.7\,\mathrm{W}

esto es, la cantidad de calor que entra se ha reducido ¡en un 99.5%!

A partir de aquí tenemos la potencia necesario para extraer este calor. Sería solo

|\dot{W}| = \frac{|\dot{Q}|}{\mathrm{COP}}=5.9\,\mathrm{W}

y si el aparato fuera una máquina de Carnot

|\dot{W}|_\mathrm{min} = \frac{|\dot{Q}|}{\mathrm{COP}_\mathrm{max}}=0.8\,\mathrm{W}

con una diferencia entre la ideal y la real de 5.1 W.

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